Pon diez objetos pequeños sobre la mesa. Al reunirlos en un paquete seguimos teniendo diez objetos, pero ahora podemos contar un grupo. Construiremos así las decenas y veremos cómo la posición de una cifra permite escribir treinta y dos con solo dos símbolos.
Si necesitas repasar:
1. Un grupo de diez recibe el nombre de decena
Un palito es una unidad de lo que contamos. Al reunir exactamente diez palitos formamos una decena. Es un grupo de diez unidades: no es un palito grande ni una unidad que sustituya sin más a las otras.
Podemos atar los diez o dibujarlos dentro de un marco. La cantidad se conserva al agrupar. Escribimos 1 decena = 10 unidades y abreviamos decena con D y unidad con U. Un paquete de nueve o de once no es una decena: hay que comprobar su contenido.
De piezas sueltas a un grupo
Tienes diez fichas sueltas. Las reúnes en un paquete. ¿Cuántas decenas y cuántas unidades representa?
Revisamos el contenido
Contamos las fichas una a una hasta diez. Ninguna queda fuera.
Cambiamos la forma de contar
El paquete es una decena porque contiene diez. Podemos decir 1 D o 10 U según si contamos grupos o piezas.
Comprobamos la conservación
Al abrir el paquete recuperamos las mismas diez fichas. Agrupar no crea ni elimina ninguna.
Representa 1 decena, equivalente a 10 unidades.
Un grupo y diez piezas son dos maneras de describir el mismo contenido.
Todavía falta una
Un paquete contiene nueve palitos. ¿Es una decena? ¿Qué cambia al añadir uno?
Comparamos con diez
Nueve es menor que diez. El nombre del paquete no decide su valor: tiene que contener diez palitos.
Completamos el grupo
Añadimos un palito. La cuenta pasa de nueve a diez.
Damos el nombre al grupo completo
Ahora sí hay una decena. Antes había nueve unidades, no una decena completa.
Con nueve no; al añadir uno se forma 1 decena.
Si abres la decena terminada, debes encontrar exactamente diez palitos.
2. Contamos los paquetes y después los sueltos
Con dos paquetes de diez y tres palitos sueltos, los paquetes aportan diez y veinte. Continuamos por los sueltos: veintiuno, veintidós, veintitrés. En total hay veintitrés palitos.
Para no mezclar tipos de grupos, decimos primero cuántas decenas hay y después cuántas unidades sueltas quedan: 2 D y 3 U. Cuando ya hemos formado todas las decenas posibles, quedan de cero a nueve sueltos. Diez sueltos permitirían formar otro paquete.
Un paquete y cuatro sueltos
Hay una decena y cuatro unidades sueltas. ¿Cuántas unidades hay en total?
Leemos el paquete
Una decena aporta diez unidades, aunque solo veamos una barra en el dibujo.
Continuamos con los cuatro sueltos
Después de diez contamos once, doce, trece y catorce.
Relacionamos las dos descripciones
Una decena y cuatro unidades es la cantidad catorce, que escribimos 14.
Hay 14 unidades en total.
No es 1 + 4 = 5: el paquete contiene diez.
Tres paquetes y dos sueltos
Tienes tres decenas y dos unidades. Construye y cuenta la cantidad.
Contamos diez por paquete
El primero da diez, el segundo veinte y el tercero treinta.
Añadimos las unidades sueltas
Después de treinta vienen treinta y uno y treinta y dos.
Revisamos la agrupación
Hay tres grupos completos de diez y dos piezas restantes. Ninguna de las barras vale solo uno.
Hay 32 unidades en total.
Si abriéramos todo, contaríamos treinta y dos piezas una a una.
3. La posición cambia el valor de una cifra
En la escritura de dos cifras, el lugar de la derecha es unidades y el de la izquierda es decenas. En 32, el 3 significa tres decenas, es decir treinta unidades; el 2 significa dos unidades.
Cifra es cada símbolo que usamos para escribir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Un número como 32 tiene dos cifras y expresa una cantidad. La misma cifra puede valer distinto según dónde la coloquemos: el 3 de 32 vale treinta y el 3 de 23 vale tres.
Las mismas cifras en otro orden
¿Expresan la misma cantidad 24 y 42?
Leemos 24 por lugares
Tiene 2 D y 4 U: dos paquetes de diez y cuatro piezas.
Leemos 42 por lugares
Tiene 4 D y 2 U: cuatro paquetes de diez y dos piezas.
Comparamos las descripciones
Las cifras usadas coinciden, pero están en lugares distintos. Por eso expresan veinticuatro y cuarenta y dos.
No: 24 y 42 son cantidades distintas.
En 24, el 2 vale veinte; en 42, ese mismo símbolo vale dos.
¿Cuánto vale el cinco?
Explica el valor de la cifra 5 en 56 y en 65.
Localizamos el cinco de 56
Está en decenas: son cinco grupos de diez. Su valor es cincuenta.
Localizamos el cinco de 65
Está en unidades: representa cinco piezas sueltas.
Diferenciamos símbolo y valor
La cifra sigue siendo 5 en los dos casos. La columna determina si aporta cincuenta o cinco.
En 56 vale 50; en 65 vale 5.
Los números completos son cincuenta y seis y sesenta y cinco.
4. Descomponer muestra el valor de las partes
Para hacer visible lo que aporta cada cifra, escribimos 32 = 30 + 2. El signo + indica que reunimos las partes y el signo = afirma que expresan la misma cantidad. Esto se llama descomponer.
La parte de decenas se escribe en unidades: tres decenas son treinta, por eso aparece 30 y no 3. También podemos recorrer el camino contrario: a partir de cuarenta y seis unidades sueltas, formamos cuatro decenas y quedan seis; escribimos 46.
Abrimos el significado de 47
Descompón 47 en decenas y unidades y escribe lo que aporta cada parte.
Leemos las columnas
El 4 ocupa decenas y el 7 ocupa unidades. Hay 4 D y 7 U.
Expresamos ambas partes en unidades
Cuatro decenas son cuarenta unidades. Las siete unidades sueltas aportan siete.
Reunimos los valores
Escribimos 47 = 40 + 7.La igualdad afirma que las dos formas representan la misma cantidad.
47 = 40 + 7.
4 + 7 daría once y perdería el valor de los paquetes.
Reconstruimos desde las partes
¿Qué número forman 20 unidades reunidas en decenas y 8 unidades sueltas?
Contamos los grupos completos
En veinte unidades hay dos grupos de diez: 2 D.
Colocamos cada cifra en su lugar
Escribimos 2 en decenas y 8 en unidades. El número es 28.
Volvemos a descomponer
28 = 20 + 8 recupera exactamente las dos partes iniciales.
Forman 28.
No escribimos 208: el veinte ya aporta dos decenas y ninguna centena.
5. El cero guarda el lugar de las unidades vacías
Cuatro paquetes de diez y ninguna pieza suelta forman cuarenta. Lo escribimos 40: el 4 queda en decenas y el 0 indica que hay cero unidades sueltas.
No podemos borrar ese cero y conservar el significado: 4 es cuatro unidades. Un número de una cifra como 7 tiene siete unidades y ninguna decena completa; normalmente escribimos solo 7. En 70, en cambio, el 7 está en decenas y vale setenta.
Cuatro y cuarenta
Compara qué representan 4 y 40 mediante paquetes y sueltos.
Interpretamos 4
Es una sola cifra situada en unidades. Podemos dibujar cuatro piezas sin paquete.
Interpretamos 40
El 4 ocupa decenas y el 0 unidades: cuatro paquetes completos y ninguna pieza suelta.
Explicamos por qué importa el cero
El cero mantiene el lugar derecho ocupado. Así el 4 queda en la columna de decenas.
4 son cuatro unidades; 40 son cuatro decenas.
Al abrir las cuatro decenas aparecerían cuarenta piezas, muchas más que cuatro.
Cero sueltos no significa cero en total
Hay siete paquetes completos de diez. ¿Cuántas unidades sueltas quedan y cuántas unidades hay en total?
Respondemos sobre lo suelto
No hay ninguna pieza fuera de los paquetes. Quedan 0 U sueltas.
Respondemos sobre el contenido total
Los siete paquetes aportan diez, veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta y setenta.
Juntamos ambas descripciones
Escribimos 70: siete decenas y cero unidades sueltas. El total es setenta, no cero.
Quedan 0 unidades sueltas; en total hay 70 unidades.
Distingue «sueltas» de «en total»: las unidades de los paquetes también existen.
6. Diez unidades sueltas permiten formar otra decena
Si ya tenemos una decena y reunimos diez unidades sueltas, podemos formar un segundo paquete. Pasamos de 1 D y 10 U a 2 D y 0 U. Ambas agrupaciones representan veinte unidades.
Este cambio se llama reagrupar. No sumamos objetos durante el cambio: contamos los mismos de otra manera. Al escribir un número de dos cifras en la forma habitual, la columna de unidades lleva una sola cifra de 0 a 9. Si tenemos diez o más sueltas, agrupamos antes de escribirlo.
El paso de diecinueve a veinte
Tienes una decena y nueve unidades. Añades una unidad. ¿Qué número obtienes?
Describimos la entrada de la nueva pieza
Antes había 1 D y 9 U: diecinueve. Al añadir una, las sueltas pasan de nueve a diez.
Formamos un nuevo paquete
Las diez sueltas se convierten en otra decena. Ahora hay dos paquetes y cero sueltas.
Escribimos después del cambio
2 D y 0 U se escribe 20. Hay una pieza más que antes; el cambio de agrupación no añade ninguna otra.
Obtienes 20.
Diecinueve más la pieza nueva son veinte; abrir los dos paquetes devolvería veinte unidades.
Dos decenas y doce unidades
Hay 2 D y 12 U. Reagrupa y escribe el número.
Separamos diez de las doce
En las doce sueltas elegimos diez para un paquete. Quedan dos sin agrupar.
Contamos los paquetes actuales
A las dos decenas iniciales se une la nueva: ahora hay tres decenas y dos sueltas.
Escribimos y revisamos el total
El número es 32. Antes había veinte y doce; después treinta y dos. Son las mismas unidades.
3 D y 2 U: el número es 32.
No escribimos 212: no podemos colocar «12» como una única cifra de unidades.
7. Para comparar dos cifras empezamos por las decenas
En 42 y 37, comparamos primero los paquetes: cuatro decenas frente a tres. Con tres decenas y hasta nueve unidades solo podemos llegar a treinta y nueve; no alcanzamos cuarenta. Por eso una decena de ventaja decide esta comparación.
Si las decenas coinciden, sus aportaciones son iguales y miramos las unidades. Así comparamos 42 y 47 por el dos y el siete. Si coinciden las dos columnas, los números son iguales. Este procedimiento compara números de dos cifras escritos de la manera habitual, con menos de diez unidades sueltas.
Más unidades sueltas no basta
¿Cuál es mayor, 42 o 37? En 37 hay más unidades sueltas.
Comparamos decenas
42 tiene cuatro grupos de diez; 37 tiene tres. El primero ya tiene cuarenta unidades solo en sus paquetes.
Vemos por qué los sueltos no invierten la comparación
Las siete unidades del segundo llegan a treinta y siete. Incluso nueve sueltas lo dejarían en treinta y nueve.
Escribimos la conclusión
Cuarenta y dos supera a treinta y siete. No decidimos mirando solo 2 y 7.
42 > 37.
37 no alcanza 40; 42 sí supera 40.
Mismas decenas: decide la otra columna
Compara 51 y 58; después compara 58 y 58.
Reconocemos las partes comunes
51 y 58 tienen cinco decenas cada uno. Esa parte no crea ventaja para ninguno.
Miramos las unidades
Una unidad es menor que ocho.
Por eso 51 < 58.Revisamos el caso de empate completo
58 y 58 tienen cinco decenas y ocho unidades en ambos lados.
Como coinciden las dos partes, 58 = 58.
51 < 58 y 58 = 58.
Solo pasamos a las unidades después de comprobar que las decenas coinciden.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
De paquetes a número
Hay 5 paquetes de diez lápices y 4 lápices sueltos. ¿Cuántos lápices hay?
Leemos los paquetes como grupos de diez
Cinco paquetes contienen diez lápices cada uno. Al contar su contenido decimos diez, veinte, treinta, cuarenta y cincuenta.
Incluimos los cuatro sueltos
Tras los cincuenta, añadimos los cuatro lápices que no están en paquetes: cincuenta y uno, cincuenta y dos, cincuenta y tres y cincuenta y cuatro.
Escribimos y reconstruimos
5 D y 4 U forman 54. Al separar 54 en 50 y 4 recuperamos los cinco paquetes y los cuatro sueltos del enunciado.
Hay 54 lápices.
Cinco grupos de diez y cuatro unidades dan cincuenta y cuatro.
EJEMPLO RESUELTO 2
Entender una cifra cero
Explica qué representa el número 60 usando decenas y unidades.
Leemos el lugar de cada cifra
En 60, el 6 está en decenas y el 0 en unidades. No son seis unidades sueltas.
Interpretamos los dos lugares
Seis decenas contienen sesenta unidades en total. El cero indica que no hay unidades sueltas fuera de los seis paquetes.
Comprobamos el papel del cero
60 son 6 D y 0 U. Si escribiéramos solo 6, el seis ocuparía unidades y representaría otra cantidad.
60 son 6 decenas y 0 unidades.
Seis paquetes de diez contienen sesenta unidades.
Los símbolos que hemos usado
- Unidad (U)
- Un objeto o una unidad de lo que contamos.
- Decena (D)
- Un grupo de diez unidades.
- Cifra
- Cada símbolo con el que escribimos un número.
- 32
- Tres decenas y dos unidades: treinta y dos.
- Descomponer
- Expresar una cantidad como la reunión de partes.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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