Para decidir qué fracción es mayor necesitamos saber cuánto representa, no cuál tiene las cifras más grandes. Compararemos piezas del mismo tamaño y después cambiaremos la partición para contar ambas cantidades de la misma manera. Los dibujos conservarán siempre la misma unidad.
Si necesitas repasar:
1. Con el mismo denominador, contamos piezas iguales
En dos barras idénticas tomamos 2/5 y 4/5. Cada pieza es un quinto de la misma unidad. Cuatro piezas reúnen más cantidad que dos: 4/5 > 2/5. No ha cambiado el tamaño de la pieza, solo cuántas tomamos.
El símbolo > se lee «mayor que» y <, «menor que». La abertura mira hacia el valor mayor.
Piezas del mismo tamaño
Compara 3/7 y 5/7 de una misma cinta.
Reconocemos la partición
Ambas cuentan séptimos de la misma unidad.
Comparamos cuántos hay
Tres piezas son menos que cinco: 3/7 < 5/7.
5/7 es mayor.
La diferencia entre las cantidades es de dos séptimos.
El empate también cuenta
Compara 4/9 y 4/9.
Comparamos tamaños
Las dos cuentan novenos.
Comparamos cantidades
Ambas toman cuatro: no hay diferencia.
4/9 = 4/9.
No elegimos un valor mayor cuando los dos coinciden.
2. Con el mismo numerador positivo, decide el tamaño de cada pieza
Un tercio de una barra contiene dos sextos de esa misma barra.
Al hacer más partes iguales de la misma unidad, cada una se hace más pequeña.
Si tomamos dos piezas en ambos casos, dos tercios también superan a dos sextos. Con el mismo numerador positivo, el denominador mayor produce una cantidad menor. Este criterio no decide por sí solo una comparación cuando cambian ambos números.
Dos piezas en ambos casos
Compara 2/3 y 2/5.
Comparamos una pieza
Un tercio es mayor que un quinto de la misma unidad.
Tomamos dos de cada tamaño
Dos piezas mayores reúnen más: 2/3 > 2/5.
2/3 es mayor.
En quinceavos serían 10/15 y 6/15, respectivamente.
Una sola pieza
¿Cuál es menor: 1/4 o 1/8?
Relacionamos las particiones
Cada cuarto contiene dos octavos.
Comparamos
Un octavo es la mitad de un cuarto.
1/8 es menor.
El ocho de abajo no hace mayor la pieza: divide la misma unidad en más partes.
3. Fracciones equivalentes: cambiamos cortes, no cantidad
Marcamos 3/4 de una barra. Partimos cada cuarto en dos: la unidad pasa a tener ocho partes y la zona marcada ocupa seis.
Son fracciones equivalentes.
Duplicar las partes totales duplica también las seleccionadas. Multiplicamos ambos números por dos. Podemos usar otro entero positivo, pero siempre arriba y abajo a la vez. Cambiar solo uno alteraría el valor.
Completar la equivalencia
Completa 1/2 = ?/8.
Encontramos el cambio
Cada mitad se divide en cuatro: el denominador 2 pasa a 8.
Aplicamos el cambio a la zona marcada
Una mitad se convierte en cuatro octavos: arriba va 4.
1/2 = 4/8.
Cuatro de ocho partes ocupan exactamente media barra.
Volver a partir los quintos
Escribe 2/5 con denominador 10.
Duplicamos las partes
Cada quinto se parte en dos.
Contamos lo que queda marcado
Dos quintos se convierten en cuatro décimos.
2/5 = 4/10.
2/10 no serviría: habría reducido a la mitad la zona marcada.
Cambiar solo abajo falla
¿Es correcto pasar de 1/2 a 1/4 multiplicando abajo por dos?
Miramos qué falta
Se duplicaron las partes totales, pero no las marcadas.
Conservamos la mitad inicial
La equivalencia correcta es 1/2 = 2/4.
1/2 y 1/4 representan cantidades distintas.
Dos cuartos reconstruyen una mitad; uno solo no basta.
4. Simplificar reúne piezas sin cambiar su contenido
En una barra con 6/8 marcados, agrupamos los octavos de dos en dos. Se forman cuatro grupos iguales y tres están marcados: 6/8 = 3/4. La zona seleccionada sigue ocupando lo mismo.
Dividimos arriba y abajo entre dos. Para mantener números enteros elegimos un divisor común que dé divisiones exactas. Podemos repetir hasta no tener un divisor común mayor que uno; entonces la fracción es irreducible.
Agrupar de dos en dos
Simplifica 4/6.
Agrupamos las partes totales
Seis sextos forman tres parejas.
Agrupamos lo marcado
Cuatro sextos forman dos parejas: la cantidad es 2/3.
4/6 = 2/3.
Multiplicar ambos términos por dos devuelve 4/6.
Repetir una simplificación
Simplifica 12/20 hasta no poder dividir ambos términos por otro entero mayor que uno.
Dividimos ambos entre dos
12/20 = 6/10.Repetimos
6/10 = 3/5.Tres y cinco no tienen divisor entero común mayor que uno.
12/20 = 3/5.
Dividir ambos términos entre cuatro desde el principio da el mismo resultado.
5. Si cambian los dos números, usamos partes comunes
Para comparar 1/2 y 2/3 podemos usar sextos. Cada mitad contiene tres sextos y cada tercio dos.
El denominador común debe permitir expresar ambas cantidades con piezas completas. Puede haber varias elecciones; suele ser más cómodo evitar números innecesariamente grandes.
Una partición sirve a ambas
Compara 3/4 y 5/8.
Convertimos los cuartos
3/4 = 6/8.Comparamos cantidades de octavos
6/8 > 5/8.
3/4 > 5/8.
La diferencia se ve como un octavo.
Los dos términos son diferentes
Compara 2/3 y 5/6.
Convertimos los tercios
2/3 = 4/6.Comparamos los sextos
Cuatro sextos son menos que cinco.
2/3 < 5/6.
El orden se ha justificado con partes iguales, sin decidir por una cifra aislada.
6. La unidad permite algunas comparaciones directas
Una fracción positiva como 3/5 toma menos partes que las cinco necesarias para completar uno. Por tanto está entre cero y uno. 5/5 vale uno. Siete quintos contienen una unidad de cinco quintos y dos quintos más: 7/5 supera a uno.
Si una cantidad es menor que uno y otra mayor, ya sabemos su orden. Esta referencia no decide necesariamente cuando ambas están al mismo lado de uno; entonces usamos otra de las comparaciones aprendidas.
A lados distintos de uno
Compara 4/5 y 8/7.
Situamos cuatro quintos
Le falta un quinto para completar la unidad.
Situamos ocho séptimos
Siete séptimos ya hacen uno y todavía queda otro séptimo.
4/5 < 8/7.
La primera es menor que uno y la segunda mayor.
Distintas escrituras de un entero
Compara 6/6 y 3/3.
Interpretamos cada selección
En ambos casos se toman todas las partes de la unidad.
Comparamos sus valores
Las dos cantidades valen uno.
6/6 = 3/3 = 1.
Tener distintos números arriba y abajo no impide expresar el mismo valor.
7. Ordenar también exige conservar los empates
Para ordenar 1/2, 2/3 y 3/4 usamos doceavos: 6/12, 8/12 y 9/12.
Volvemos a los nombres originales después de comparar.
Si hay fracciones equivalentes, conservamos la igualdad. No borramos un dato ni ponemos una desigualdad estricta entre cantidades que coinciden. También comprobamos que aparezcan todas las fracciones del enunciado.
Denominador compartido
Ordena 5/7, 1/7 y 3/7 de menor a mayor.
Reconocemos partes iguales
Todos son séptimos.
Ordenamos cuántos hay
1<3<5, así que 1/7 < 3/7 < 5/7.
1/7, 3/7, 5/7.
Están los tres datos, una vez cada uno y en orden creciente.
Un empate no desaparece
Ordena 3/4, 1/2 y 2/4.
Encontramos la igualdad
1/2 = 2/4.Comparamos con la otra cantidad
Dos cuartos son menos que tres cuartos.
1/2 = 2/4 < 3/4.
Una mitad no es menor que dos cuartos; son la misma cantidad.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
¿Quién tiene más cinta?
Ana tiene 3/8 de una cinta y Luis 5/8 de otra cinta idéntica. ¿Quién tiene más y cuántos octavos más?
Fijamos unidades iguales
Las cintas son idénticas, así que un octavo representa la misma longitud en ambas.
Comparamos lo seleccionado
Luis tiene 5/8 y Ana 3/8: cinco piezas superan a tres.
Calculamos la ventaja
5 − 3 = 2 octavos.Comprobamos
Los 3/8 de Ana más 2/8 dan los 5/8 de Luis. Luis tiene 2/8 de cinta más.
Luis tiene 2/8 de cinta más.
A los tres octavos de Ana añadimos dos y obtenemos los cinco octavos de Luis.
EJEMPLO RESUELTO 2
Comparamos dos tercios y tres cuartos
Ordena 2/3 y 3/4 de menor a mayor usando partes del mismo tamaño.
Elegimos una partición común
Doce es múltiplo de tres y de cuatro.
Convertimos sin cambiar valores
2/3 = 8/12 y 3/4 = 9/12.Comparamos las partes iguales
8/12 < 9/12.Expresamos el orden pedido
2/3 < 3/4.Los cambios de escritura conservaron ambas cantidades.
2/3 < 3/4.
La diferencia es una de las doce partes de la misma barra.
Los símbolos que hemos usado
- Equivalentes
- Fracciones que representan la misma cantidad del mismo entero.
- >
- Mayor que: 3/4 > 1/4.
- <
- Menor que: 1/4 < 3/4.
- =
- Igual cantidad, aunque la escritura pueda ser distinta.
- Simplificar
- Escribir una fracción equivalente con números menores.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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