Orientación, coordenadas y simetría

Imagina un plano visto desde arriba. En esta página, derecha significa hacia la derecha del dibujo y arriba hacia su parte superior. Elegimos un punto marcado como inicio. Así dos personas pueden seguir las mismas instrucciones sin estar en el mismo lugar.

No es lo mismo avanzar tres casillas desde una esquina que desde el centro. Una indicación completa debe decir desde dónde se parte, en qué dirección se avanza y cuánto. Primero fijamos esas referencias; después contamos.

Dibujamos una línea horizontal y otra vertical que se cortan formando ángulos rectos. Son los ejes. El horizontal se llama eje x y el vertical, eje y. Su cruce es el origen: el punto desde el que contamos ambas posiciones.

Las marcas de un eje están separadas de forma regular. En nuestros dibujos una casilla vale una unidad en cualquiera de los dos sentidos. Aquí empezamos con cero y números positivos: solo usamos la parte de la cuadrícula que está a la derecha y arriba del origen.

Más adelante podremos extender los ejes en los otros sentidos.

El origen se escribe (0; 0): cero pasos horizontales y cero verticales. El punto y coma separa los dos números; evita confundirlos con la coma de un número decimal.

Para situar (3; 2), empezamos en el origen. Avanzamos tres unidades a la derecha; desde ahí subimos dos. La llegada es un punto de la cuadrícula. No estamos escribiendo 3,2 como un número decimal: son dos instrucciones ordenadas.

Para leer un punto ya dibujado, miramos qué marca horizontal tiene debajo y qué altura alcanza respecto al eje vertical. Escribimos primero la posición horizontal y después la vertical. Por eso (3; 2) y (2; 3) suelen ser lugares distintos.

El punto (1; 2), al avanzar tres unidades a la derecha, llega a (4; 2): sumamos tres a la posición horizontal y conservamos la altura. Si sube una unidad más, termina en (4; 3). Distinguimos la posición inicial de la instrucción de movimiento.

En el dibujo trasladamos un triángulo entero tres unidades a la derecha y una arriba. Cada vértice hace exactamente ese desplazamiento. La figura conserva su tamaño, su forma y su orientación. Si solo movemos una esquina, podríamos deformarla: eso no sería trasladar el triángulo completo.

Piensa en una línea vertical que actúa como espejo. Un punto a dos casillas a la izquierda tiene su reflejo a dos casillas a la derecha y a la misma altura. El eje queda justo en medio; no contamos dos casillas desde el punto original, sino dos desde el eje.

La unión entre el punto y su reflejo cruza el eje en perpendicular. Para reflejar una figura repetimos esta construcción en cada vértice y unimos los nuevos puntos en el mismo orden. La imagen conserva tamaños y longitudes, pero queda invertida como en un espejo.

Si un punto ya está sobre el eje, su distancia a él es cero: permanece en el mismo lugar. Una figura tiene un eje de simetría cuando al reflejarla en esa línea coincide consigo misma. No todas las figuras tienen uno.

En el dibujo, el eje pasa por la posición horizontal 3. El vértice (2; 3) está una casilla a su izquierda: su reflejo es (4; 3), una a su derecha. El vértice (0; 1) está tres casillas a la izquierda: pasa a (6; 1). Las alturas se conservan porque el espejo es vertical.

Unimos los puntos reflejados para reconstruir el triángulo. No basta con copiar la figura a cualquier lugar al otro lado. Deben corresponder todos sus vértices a igual distancia perpendicular del eje. Si el eje fuese horizontal, conservaríamos la posición horizontal y cambiaríamos la altura según la distancia al espejo.

Girar mueve una figura alrededor de un punto fijo llamado centro del giro. Un cuarto de vuelta son 90°; media vuelta, 180°; una vuelta completa, 360°. En un cuarto de vuelta el sentido importa: horario sigue las agujas de un reloj; antihorario va al contrario.

Una flecha que apunta arriba, al girar 90° en sentido horario alrededor de su centro, apunta a la derecha. Si el giro fuera antihorario, apuntaría a la izquierda. Mantiene su forma y su tamaño. No es una traslación: su orientación sí cambia.

Traslación: todos los puntos avanzan el mismo desplazamiento. Reflexión: cada punto corresponde a otro a igual distancia perpendicular de un eje. Giro: la figura se mueve alrededor de un centro fijo por un ángulo indicado. Los tres conservan distancias, pero describen construcciones distintas.

Al comprobar, no basta decir «se parece». Para coordenadas, ejecutamos los pasos desde el origen. Para una traslación, revisamos todos los desplazamientos. Para un reflejo, revisamos el eje y las distancias. Para un giro, revisamos centro, ángulo y sentido.