Tenemos un grupo de fichas y apartamos algunas. Para saber cuántas siguen dentro contaremos solo las que quedan. Después usaremos la misma separación de cantidades para completar una meta y para comparar dos grupos, aunque no retiremos ningún objeto.
Si necesitas repasar:
1. Restar puede describir lo que quitamos de un grupo
Pon seis fichas sobre la mesa y aparta dos. Dentro del grupo inicial quedan cuatro. Las dos apartadas existían al principio, pero ya no pertenecen a lo que preguntamos al decir «¿cuántas quedan?».
El signo − se lee «menos». El 6 es la cantidad inicial, el 2 es la parte que retiramos y el 4 es lo que queda. Sus nombres son minuendo, sustraendo y diferencia. Primero entendemos qué cuenta cada número; los nombres sirven para referirnos a ellos.
En esta lección retiramos una cantidad menor o igual que la inicial. Así el resultado puede ser cero o una cantidad positiva. Antes de elegir la resta, precisamos el grupo: retirar dos botones no hace desaparecer también los lápices que estén al lado.
Quedan objetos que aún están dentro
Hay seis fichas y apartamos dos. ¿Cuántas quedan?
Identificamos el inicio y la retirada
El grupo inicial contiene seis. Apartamos exactamente dos distintas.
Contamos el grupo restante
Señalamos solo las que no hemos apartado: uno, dos, tres y cuatro.
Escribimos lo ocurrido
6 − 2 = 4.El cuatro responde qué queda, no qué retiramos.
Quedan 4 fichas.
Cuatro que quedan y dos apartadas reconstruyen las seis iniciales.
No volvemos a contar los objetos retirados
Una bandeja tenía nueve tornillos. Se guardan tres en otra caja. ¿Cuántos siguen en la bandeja?
Seguimos el lugar que pregunta el enunciado
La respuesta se refiere a la bandeja. Los tres de la caja ya no se incluyen en ese grupo.
Restamos la parte que salió
9 − 3 = 6.Los seis restantes siguen donde estaban.
Distinguimos dos preguntas
En la bandeja quedan seis. Entre bandeja y caja continúan existiendo los nueve, porque no se han destruido.
En la bandeja siguen 6 tornillos.
La cantidad que queda depende del grupo que nos preguntan, no de cuántos objetos existen en toda la escena.
2. En la recta, quitar unidades es retroceder
Para 7 − 2 colocamos una ficha en 7. El primer salto de una unidad hacia la izquierda llega a 6; el segundo, a 5. La llegada, 5, expresa lo que queda después de quitar dos unidades.
La posición de salida no cuenta como salto. Estar en 7 significa que todavía no hemos quitado nada. Cada movimiento corresponde a una unidad retirada. Si el conteo de saltos y el de unidades retiradas no coinciden, revisamos el recorrido.
Comprobamos que las marcas avancen de uno en uno. Si cada espacio valiera diez, un salto representaría diez unidades. Aquí queremos retroceder exactamente la cantidad que indica el segundo número.
Dos retiradas, dos movimientos
Calcula 8 − 2 en una recta de uno en uno.
Situamos la salida
Ponemos la ficha en 8. Todavía lleva cero saltos.
Retiramos una unidad en cada salto
El primero termina en 7 y el segundo en 6.
Leemos el resultado
La llegada es 6. Hay dos espacios entre 8 y 6.
8 − 2 = 6.
Desde 6, dos avances regresan a 8.
Un recorrido algo más largo
Calcula 9 − 6 siguiendo seis saltos de una unidad.
Separamos salida y cantidad de saltos
9 es el lugar inicial; 6 es cuántos movimientos haremos. No vamos directamente a la marca 6.
Contamos seis llegadas
Los saltos llegan a 8, 7, 6, 5, 4 y 3.
Paramos al completar la retirada
La sexta llegada es 3. Aunque pasamos por la marca 6, allí solo habíamos dado tres saltos.
9 − 6 = 3.
Los números bajo las marcas son posiciones; los números sobre los arcos cuentan los saltos.
3. También restamos para averiguar lo que falta
Tenemos cuatro piezas y necesitamos nueve. No hemos retirado ninguna, pero queremos conocer la parte que separa lo conseguido de la meta. Contamos hacia delante: cinco, seis, siete, ocho y nueve. Faltan cinco piezas.
La cuenta es 9 − 4 = 5: de la meta completa separamos la parte que ya tenemos y queda la pendiente. No ponemos 4 − 9, porque eso cambiaría qué cantidad es el total y qué parte conocemos.
La suma une lo conseguido y lo que faltaba. Esta relación explica por qué una resta puede resolver un problema de completar, además de uno de quitar.
Completar una colección pequeña
Necesitas nueve fichas y ya tienes cuatro. ¿Cuántas faltan?
Identificamos la meta
El grupo completo debe contener nueve, de las que cuatro ya están presentes.
Contamos solo lo pendiente
Desde cuatro, los aumentos hasta nueve son cinco: 5, 6, 7, 8 y 9.
Comprobamos completando
Cuatro presentes y cinco nuevas reúnen nueve: 4 + 5 = 9.
Faltan 5 fichas: 9 − 4 = 5.
Responder nueve contaría de nuevo las cuatro fichas que ya tenemos.
Completar sin empezar desde cero
Una caja debe reunir dieciocho piezas y ya tiene doce. ¿Cuántas piezas más necesita?
Conservamos las piezas ya reunidas
Las doce iniciales no vuelven a pedirse. Buscamos únicamente la parte pendiente.
Contamos aumentos desde doce
Trece, catorce, quince, dieciséis, diecisiete y dieciocho son seis llegadas.
Relacionamos las dos operaciones
18 − 12 = 6 y 12 + 6 = 18 describen la misma separación de partes.
Necesita 6 piezas más.
Las seis nuevas completan la meta, sin sustituir las doce que ya estaban.
4. La diferencia permite comparar dos grupos
Una persona tiene siete fichas y otra cuatro. Hacemos parejas, una ficha de cada persona. Al completar cuatro parejas, la primera conserva tres fichas sin pareja. Tiene tres más que la segunda.
También podemos decir que la segunda tiene tres menos que la primera. No hemos quitado fichas de verdad: hemos separado mentalmente una parte común y la ventaja que sobra.
Antes de restar para hallar «cuántas más», identificamos el grupo mayor. Si las cantidades coinciden, no queda ninguna ficha sin pareja y la diferencia es cero. La respuesta debe indicar a quién corresponde la ventaja o la falta.
Cuántas más y cuántas menos
A tiene siete lápices y B tiene cuatro. ¿Cuántos más tiene A? ¿Cuántos menos tiene B?
Emparejamos la parte común
Usamos cuatro lápices de A y los cuatro de B para formar cuatro parejas.
Contamos lo que sobra
A conserva tres sin pareja: 7 − 4 = 3.Leemos las dos formas de comparación
A tiene tres más que B; B tiene tres menos que A. La separación entre cantidades es la misma.
A tiene 3 más y B tiene 3 menos.
Si B recibiera tres lápices, tendría siete y ambos grupos coincidirían.
Comparar dos cantidades iguales
Dos cajas contienen seis piezas cada una. ¿Cuántas piezas de ventaja tiene una sobre la otra?
Formamos todas las parejas
Cada una de las seis piezas de una caja encuentra otra en la segunda.
Buscamos piezas sin pareja
No queda ninguna libre en ningún grupo. No hay ventaja.
Escribimos la diferencia
6 − 6 = 0.No quiere decir que las cajas estén vacías, sino que sus cantidades no se diferencian.
La ventaja es 0 piezas.
Ambas cajas siguen teniendo seis; cero describe aquí la diferencia.
5. En columnas quitamos grupos del mismo tamaño
Para 48 − 23 representamos 48 con cuatro decenas y ocho unidades. Retiramos tres unidades y quedan cinco. Retiramos dos decenas y quedan dos decenas. Juntas forman 25.
En la cuenta vertical ponemos U para unidades y D para decenas. Las unidades van debajo de unidades y las decenas debajo de decenas. El número inicial se coloca arriba y el que retiramos abajo, precedido por −.
En estos ejemplos hay suficientes grupos en cada columna. No necesitamos abrir una decena: es una resta sin reagrupación. Si en una columna no alcanzara, conservaríamos el orden de la resta y cambiaríamos la agrupación en su lección correspondiente.
Retirar unidades y decenas
Calcula 67 − 24 por columnas.
Alineamos los lugares
7 y 4 son unidades; 6 y 2 son decenas.
Quitamos lo pedido en cada columna
7 − 4 = 3 U.Después 6 − 2 = 4 D.Leemos el resultado completo
4 D y 3 U forman 43. No son cuatro unidades y tres unidades.
67 − 24 = 43.
43 + 24 = 67 vuelve a reunir lo que quedó y lo que salió.
El número de una cifra ocupa unidades
Calcula 58 − 6.
Interpretamos el seis
Son seis unidades; lo escribimos debajo del ocho, no debajo del cinco.
Restamos las unidades
8 − 6 = 2.No se ha retirado ninguna decena.
Conservamos los grupos grandes
Las cinco decenas permanecen. El resultado es 52.
58 − 6 = 52.
52 + 6 = 58. Colocar seis en decenas cambiaría la cantidad retirada.
Retiramos solo paquetes de diez
Calcula 48 − 20.
Leemos el veinte
20 contiene dos decenas y cero unidades sueltas.
Respetamos la columna vacía
8 − 0 = 8 U.En decenas, 4 − 2 = 2 D.Escribimos lo que queda
Dos decenas y ocho unidades forman 28.
48 − 20 = 28.
Retirar dos paquetes de diez reduce las decenas, sin retirar las ocho piezas sueltas.
6. Cambiar el orden cambia la pregunta
Tener ocho fichas y retirar tres permite dejar cinco. Tener tres y pedir retirar ocho plantea otra situación: no tenemos ocho fichas para apartar de ese grupo. En los números no negativos que usamos ahora, esa segunda retirada no se puede completar.
Por eso la resta no conserva el resultado al intercambiar sus números como hacíamos en una suma. La cantidad inicial y la que retiramos tienen papeles distintos. Tampoco giramos una resta de columna solo porque resulte más fácil.
Cuando buscamos una diferencia entre dos grupos, elegimos el mayor como total del que separamos la parte común. Esa elección viene del significado del problema, no de ordenar cifras a conveniencia durante la cuenta.
Dos retiradas diferentes
Compara «ocho fichas menos tres» con «tres fichas menos ocho» en esta lección.
Realizamos la primera
De ocho podemos apartar tres y quedan cinco.
Intentamos describir la segunda
Un grupo de tres no contiene ocho fichas para retirar. Intercambiar los números no conserva la situación.
Delimitamos el resultado estudiado
Aquí no continuamos hacia números negativos. No usamos la primera respuesta como si también resolviera la segunda.
8 − 3 deja 5; 3 − 8 no es la misma retirada y sale del tipo de resultados que estamos estudiando.
Los dos números conservan su orden porque cuentan inicio y retirada, respectivamente.
La misma diferencia en una comparación
Una caja tiene catorce piezas y otra once. Para saber cuántas más tiene la primera, ¿qué resta representa la pregunta?
Identificamos la cantidad mayor
La caja de catorce contiene la parte común de once y una parte adicional.
Separamos la parte compartida
14 − 11 = 3.La ventaja de la primera es tres.
Evitamos invertir total y parte
11 − 14 no separa once del grupo mayor. Cambiaría los papeles del problema.
La comparación se representa con 14 − 11 = 3.
Al añadir tres a once se llega a catorce, confirmando qué grupo tenía la ventaja.
7. Quitar cero y quitarlo todo son casos distintos
Si de un grupo retiramos cero objetos, no sale ninguno.
Cero describe cuánto quitamos, no una orden de convertir todo en vacío.
Si retiramos tantos objetos como había, el grupo sí queda vacío: 5 − 5 = 0. Aquí cero describe la cantidad final. Esas dos cuentas tienen el mismo inicio y retiradas diferentes.
El caso 0 − 0 también está permitido: el grupo empieza vacío y no retiramos nada. Sigue vacío. Podemos entender todos estos casos con objetos antes de aplicar las mismas ideas a números de más cifras.
Ninguna ficha sale
Hay cinco fichas y retiramos cero. ¿Cuántas quedan?
Leemos la retirada
Cero significa que no apartamos ninguna.
Revisamos el grupo
Las cinco fichas iniciales siguen presentes. No hemos hecho ningún movimiento de retirada.
5 − 0 = 5.
Contar el grupo de nuevo debe dar cinco.
Cero retirado en una cantidad mayor
Calcula 34 − 0 por su significado.
Leemos el inicio
Hay tres decenas y cuatro unidades.
Miramos qué cambia
La retirada no contiene ni decenas ni unidades. Se conservan todas las partes iniciales.
34 − 0 = 34.
34 + 0 = 34 confirma que no falta devolver nada.
Retiramos el grupo completo
Hay siete fichas y apartamos las siete. ¿Qué cantidad queda?
Comparamos inicio y retirada
Retiramos tantas fichas como había. Ninguna debe contarse dos veces.
Buscamos una ficha que siga dentro
No queda ninguna sin apartar: el grupo restante está vacío.
7 − 7 = 0.
Devolver las siete al grupo vacío recuperaría el inicio.
Todo el contenido de dos columnas
Calcula 43 − 43.
Retiramos unidades
De tres unidades quitamos tres y quedan cero.
Retiramos decenas
De cuatro paquetes quitamos cuatro y no queda ninguno. Las dos columnas quedan vacías.
43 − 43 = 0.
El resultado cero no significa que el número inicial fuera cero: hemos retirado todos sus objetos.
8. La suma comprueba la separación que hemos hecho
Después de quitar una parte, el inicio se puede reconstruir reuniendo lo que quedó y lo que retiramos.
Si no vuelve al inicio, algo falta o sobra.
En un problema de completar, lo conseguido más lo pendiente debe alcanzar exactamente la meta. En uno de comparación, el grupo menor más la diferencia debe igualar al mayor. La misma comprobación adopta el significado de cada situación.
Al responder escribimos qué representa el resultado: objetos que quedan, objetos que faltan o ventaja de un grupo. El número por sí solo no cuenta toda la historia.
Una comprobación que detecta una unidad perdida
Alguien dice que 46 − 12 = 33. Revisa sin repetir simplemente la misma resta.
Reconstruimos el supuesto inicio
33 + 12 = 45, que no son los 46 originales.Volvemos a los grupos
6 − 2 = 4 U y 4 − 1 = 3 D.Deben quedar 34.
Comprobamos la corrección
34 + 12 = 46.Ahora sí coinciden inicio y reconstrucción.
La respuesta correcta es 34.
La primera propuesta dejaba una unidad sin explicar.
Revisar una cantidad que falta
La meta son nueve piezas, ya hay siete y calculamos que faltan dos. ¿Cómo lo comprobamos?
Sumamos presente y pendiente
7 + 2 = 9.Las dos piezas nuevas completan exactamente la meta.
Descartamos otra propuesta
Si faltaran tres, 7 + 3 daría diez. Sobraría una respecto de las nueve necesarias.
Respondemos con su significado
Faltan dos piezas; no estamos diciendo que queden dos después de retirar algo.
Faltan 2 piezas, porque 7 + 2 = 9.
La respuesta explica qué cuenta el dos y reproduce la meta.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Los libros que quedan
Una caja contiene 57 libros. Sacamos 24. ¿Cuántos quedan?
Identificamos inicio y parte retirada
La caja tenía 57 libros y salen 24. Buscamos los libros que siguen dentro: 57 − 24.
Quitamos unidades y decenas
7 − 4 = 3 U.Después 5 − 2 = 3 D.En cada columna había suficiente sin abrir grupos.
Leemos y comprobamos
Quedan 33 libros. Al reunir 33 + 24, las unidades dan 7 y las decenas 5: recuperamos 57.
Quedan 33 libros.
33 + 24 = 57 recupera la cantidad inicial.
EJEMPLO RESUELTO 2
Cuánto falta para completar
Un álbum necesita 28 cromos y ya tiene 15. ¿Cuántos cromos faltan?
Separamos meta y cantidad conseguida
El álbum necesita 28 cromos y ya tiene 15. La parte pendiente es 28 − 15.
Calculamos la separación
8 − 5 = 3 U y 2 − 1 = 1 D.La diferencia es 13.
Contestamos lo que significa
Faltan 13 cromos.
Comprobamos 15 + 13 = 28: lo ya colocado y lo nuevo completan la meta.
Faltan 13 cromos.
La suma de los ya colocados y los pendientes coincide con la meta.
Los símbolos que hemos usado
- −
- Menos: indica una resta.
- Minuendo
- Cantidad inicial en una resta.
- Sustraendo
- Cantidad que restamos.
- Diferencia
- Resultado de la resta.
- Comprobar
- Revisar con otra cuenta que la respuesta cumple los datos.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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