Sistemas no lineales elementales

x + y = 4 es lineal. x² + y² = 8 no lo es, porque aparecen cuadrados. xy = 6 tampoco es lineal: aunque cada letra esté elevada a uno, se multiplican entre sí. Un sistema con una de esas condiciones ya no es un sistema lineal de dos rectas.

La solución continúa siendo una pareja ordenada (x; y) que hace verdaderas todas las ecuaciones. No cambia el significado de resolver. El dibujo muestra una recta y una circunferencia con dos puntos comunes: (2; 2) y (−2; −2).

Las parejas son (−2; −1) y (1; 2). No mezclamos un valor de una rama con la coordenada de la otra.

Primero encontramos x y después recuperamos y mediante la suma dada.

Para suma siete y producto doce, la cuadrática es x² − 7x + 12 = 0 = (x − 3)(x − 4). Las parejas ordenadas son (3; 4) y (4; 3). Si x e y representan papeles distintos, las dos parejas siguen siendo distintas aunque usen los mismos dos números.

La relación x² + y² = R² representa la circunferencia de centro en el origen y radio R > 0: las distancias horizontal y vertical forman el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide R. Si una recta fija y = h, sustituimos para obtener x² = R² − h².

Con radio tres y y = 1, resulta x² = 9 − 1 = 8: hay dos puntos (√8; 1) y (−√8; 1).

En xy = 0 y x + y = 3, no podemos empezar con y = 0/x para todos los casos. La regla del producto nulo abre dos ramas: x = 0 o y = 0.

Si un producto es distinto de cero, como xy = 2, entonces ambos factores son no nulos y sí podemos despejar y = 2/x con x ≠ 0. Las restricciones no son un trámite posterior: justifican los pasos que usamos y evitan perder una rama.

Una recta y una circunferencia pueden tener cero, uno o dos puntos comunes. Pero ese patrón no describe cualquier sistema no lineal. Por ejemplo, x² = 1 e y² = 4 permiten cuatro parejas, porque cada coordenada tiene dos opciones independientes.

Si dos ecuaciones describen la misma curva, puede haber infinitas soluciones. Si son incompatibles, no habrá ninguna. No afirmamos que «dos ecuaciones dan dos respuestas»: estudiamos sus condiciones concretas y conservamos las ramas que realmente cumplan ambas.

Si una igualdad contiene √(x + y) = x, el miembro izquierdo es una raíz principal no negativa, así que debe cumplirse x ≥ 0 y x + y ≥ 0. Al cuadrar obtenemos x + y = x², pero esta nueva igualdad puede admitir valores negativos de x que no servían antes.

Con la condición adicional y = 2, la cuadrática resultante es x² − x − 2 = 0, que da dos y menos uno.

Solo queda (2; 2).

Al terminar, sustituimos cada pareja en cada ecuación original y comprobamos dominio, signos y contexto. No basta que los valores de x resuelvan la ecuación intermedia: la y debe ser la correspondiente y cumplir también la condición no usada para despejar.

Un dibujo ayuda a detectar ramas y a interpretar intersecciones, pero las igualdades exactas justifican los candidatos. Si aproximamos una raíz, mantenemos la forma exacta hasta el final para no rechazar una solución correcta por un pequeño error de redondeo.

La tabla mantiene unidas las ramas: dos con cuatro y menos dos con menos cuatro. Cruzar coordenadas produciría parejas que cumplen la circunferencia, pero no la recta.

Si el contexto exige x ≤ y, o exige ambas cantidades positivas, aplicamos esa condición después de obtener y comprobar las parejas matemáticas. No descartamos por intuición una rama sin una condición que lo justifique, ni conservamos un valor que contradiga el significado de las incógnitas.