Factorización por agrupación y combinación de métodos

6x²+9x y 3x(2x+3) son la misma expresión escrita de dos formas. El signo de multiplicación puede quedar implícito entre el factor y el paréntesis. No estamos buscando x todavía.

Si después se iguala el producto a cero, podemos estudiar sus raíces. Mientras solo factorizamos, conservamos todos los factores, también los números. Quitar un 3 porque no afecta a las raíces cambiaría la expresión.

Buscamos el MCD de los coeficientes enteros y, para cada letra presente en todos los términos, su exponente menor. Al sacar ese factor, dentro queda lo que hay que multiplicar por él para reconstruir cada término.

Es una identidad válida incluso si el factor común se anula.

Dividir al resolver sí requeriría tratar aparte x=0 para no perderlo.

En UA+VA, el factor común es el bloque A: (U+V)A. En un polinomio con varios términos podemos agrupar para hacer visible ese bloque. Reordenar una suma conserva el signo unido a cada término.

Si aparecen bloques opuestos, como x−2 y 2−x, uno es el negativo del otro. Sacar −1 de uno de ellos permite compararlos correctamente. No se cambian signos solo porque un término se escriba en otra posición.

Una diferencia A²−B² se convierte en (A−B)(A+B). Elegimos bloques cuyos cuadrados sean los términos; no necesitamos afirmar que √(x²)=x para todo real, porque la raíz principal es |x|.

Un trinomio A²±2AB+B² es un cuadrado perfecto solo si coincide el término central.

Una suma de cuadrados no es una diferencia de cuadrados.

Para x²+sx+p, buscamos dos números que sumen s y multipliquen p. Para ax²+bx+c con a≠1 podemos agrupar o hallar raíces. Si las raíces son r y t, la forma es a(x−r)(x−t), conservando a.

El teorema del factor dice P(r)=0 si y solo si x−r divide a P. En un polinomio entero, una raíz racional reducida u/v debe tener u divisor del término independiente y v divisor del coeficiente principal, si el término independiente es no nulo. Son candidatos, no raíces garantizadas; si ese término es cero se saca x primero.

Sacar factor común puede dejar otro factor que aún se descompone. Revisamos de nuevo cada pieza. Decir «completamente factorizado» necesita indicar si usamos coeficientes racionales, reales o complejos.

x²−2 no tiene factores lineales racionales, pero sobre los reales es (x−√2)(x+√2). x²+1 no tiene raíces reales y sí complejas: (x−i)(x+i), con i²=−1. No encontrar un factor entero no demuestra irreducibilidad en todos los sistemas.

En los reales, un producto es cero si al menos uno de sus factores es cero. Así resolvemos una ecuación factorizada sin dividir por factores que podrían anularse. Un factor numérico no nulo nunca produce una raíz.

Una raíz repetida puede aparecer varias veces como factor y seguir siendo un único valor. La multiplicidad cuenta las copias, no las raíces distintas. Un polinomio no nulo de grado n tiene como máximo n raíces distintas; sobre ℂ tiene n contando multiplicidades.

Revisar grado, coeficiente principal y constante ayuda a detectar errores, pero la igualdad completa se comprueba distribuyendo. Evaluar en un número puede refutar una identidad; unos pocos aciertos no la demuestran.

En fracciones algebraicas, cancelar factores conserva el valor solo donde la fracción original estaba definida. Los puntos que anulaban el denominador siguen excluidos aunque desaparezca su factor de la escritura simplificada.