La inversa intenta deshacer lo que una matriz hizo con una entrada. No es cambiarle los signos ni invertir cada casilla. Veremos cuándo se puede recuperar la información, cómo construir la matriz que lo consigue y cómo comprobarla multiplicando.
Si necesitas repasar:
1. Deshacer una matriz significa que la composición produzca la identidad
Para una matriz cuadrada A, una inversa B cumple AB=BA=I. La identidad deja los vectores como estaban: primero aplicar A y después B recupera la entrada, y también en el orden contrario.
El exponente −1 nombra esta operación inversa; no significa −A ni recíprocos casilla a casilla.
La asociatividad y las identidades muestran que no puede haber dos inversas distintas.
Escalar y después deshacer
A transforma (x,y) en (2x,3y). Encuentra su inversa.
Recuperar la primera
Dividir la primera salida por dos.
Recuperar la segunda
Dividir la segunda por tres.
Matriz
Diagonal (1/2,1/3); el producto con A es la identidad en ambos órdenes.
A⁻¹ es diagonal (1/2,1/3).
Se divide cada coordenada por el factor que realmente recibió.
Recíprocos por casilla no funcionan
A tiene filas (1,1),(1,2). Prueba como candidata la tabla de recíprocos: (1,1),(1,1/2).
Producto necesario
Para ser inversa, la casilla (1,1) de AB debería ser uno.
Cuenta
La fila (1,1) por la columna (1,1) da dos.
Descartar
El producto ya no puede ser la identidad.
La tabla de recíprocos no es la inversa.
El producto mezcla filas y columnas; no se deshace invirtiendo números aislados.
2. Si dos entradas dan la misma salida, ninguna matriz puede distinguirlas después
Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando tiene rango completo, o lo mismo, determinante distinto de cero. Si es singular, alguna dirección no nula se envía a cero: se pierde información y no hay una regla inversa que reconstruya todas las entradas.
Aquí reservamos A⁻¹ para la inversa cuadrada de dos lados. En matrices rectangulares puede existir una inversa de un solo lado, pero recuperar una composición no obliga a recuperar la otra. Hay que comprobar tamaños y no confundir estos conceptos.
Una pérdida visible
A tiene filas (1,1),(2,2). ¿Puede tener inversa?
Dos entradas
A(1,0)ᵀ=(1,2)ᵀ y A(0,1)ᵀ=(1,2)ᵀ.Problema al volver
De la misma salida no puede recuperarse a la vez una entrada y la otra.
Determinante
1·2−1·2=0 confirma singularidad.
No tiene inversa de dos lados.
La diferencia (1,−1) de esas entradas se transforma en cero.
Una composición rectangular se deshace solo en un sentido
A es la fila (1,0) y B la columna (1,0)ᵀ. Calcula AB y BA.
AB
Tamaño 1×1: 1·1+0·0=1, identidad de orden uno.BA
Tamaño 2×2: diagonal (1,0).
Comparar
BA no es I₂ porque pierde la segunda coordenada.
AB=I₁, pero BA≠I₂.
No se ha construido una inversa cuadrada A⁻¹; las dos identidades tienen dimensiones diferentes.
3. La fórmula de orden dos intercambia una diagonal y cambia los otros dos signos
Si D≠0, la inversa tiene filas (d,−b),(−c,a), todas divididas por D. Primero comprobamos el denominador; después aplicamos el factor a toda la tabla.
La regla se comprueba multiplicando A por esa tabla sin dividir todavía: las entradas diagonales dan D y las otras cero. Por tanto el producto es DI y al dividir por D queda I. Si D=0, no hay una división que permita obtener la inversa.
Una fórmula completa
Halla la inversa de filas (2,1),(1,1).
Determinante
2·1−1·1=1.Preparar tabla
Intercambiamos dos y uno en la diagonal; cambiamos signo a los otros: (1,−1),(−1,2).
Factor
Dividir por uno no cambia nada.
Comprobar
AA⁻¹ tiene filas (2−1,−2+2),(1−1,−1+2)=(1,0),(0,1).
Filas (1,−1),(−1,2).
Los cuatro resultados del producto son los de la identidad, incluidos sus dos ceros.
Dividir todas las entradas
Invierte filas (2,0),(1,3).
Determinante
Seis.
Tabla previa
Filas (3,0),(−1,2).
Dividir por seis
Filas (1/2,0),(−1/6,1/3).
Filas (1/2,0),(−1/6,1/3).
La casilla (2,1) del producto es 1/2+3·(−1/6)=0: confirma el signo y el factor.
4. Gauss-Jordan transforma los dos bloques con las mismas operaciones
Escribimos [A|I]. El objetivo es convertir el bloque izquierdo en I usando operaciones de filas reversibles: intercambio, escala no nula y suma de múltiplos. Cada operación afecta a la fila completa, también a la parte que está a la derecha de la barra.
Al final [I|B] significa que la combinación de operaciones E cumple EA=I y que E es justamente el bloque derecho B.
Si el bloque izquierdo pierde un pivote y no puede llegar a I, A es singular; no se arregla dejando de operar la parte derecha.
De la tabla inicial a la inversa
Invierte A de filas (1,1),(1,2) mediante el dibujo inicial.
Tabla
Filas ampliadas (1,1|1,0),(1,2|0,1).
Primer cero
F₂←F₂−F₁: segunda fila (0,1|−1,1).
Cero por encima
Con la nueva F₂, F₁←F₁−F₂: primera (1,0|2,−1).
Leer bloque derecho
Filas (2,−1),(−1,1).
A⁻¹ tiene filas (2,−1),(−1,1).
En el primer paso, el bloque derecho también cambió: (0,1)−(1,0)=(−1,1).
Intercambiar también mueve el bloque derecho
Invierte A de filas (0,1),(2,3).
Inicial
(0,1|1,0),(2,3|0,1).
Intercambio completo
(2,3|0,1),(0,1|1,0).
Eliminar y normalizar
F₁←F₁−3F₂ da (2,0|−3,1); después F₁←F₁/2.
Leer
(1,0|−3/2,1/2),(0,1|1,0).
Inversa de filas (−3/2,1/2),(1,0).
Un pivote inicial cero puede resolverse intercambiando; no implica automáticamente singularidad.
5. La estructura y los cofactores ofrecen otras formas de obtenerla
La adjunta adj A es la transpuesta de la matriz de cofactores: no basta copiar menores ni olvidar esa transposición.
Una diagonal se invierte tomando recíprocos de sus entradas diagonales, siempre que ninguna sea cero. Para una triangular invertible podemos resolver AX=I columna a columna. Esa estructura ahorra cuentas, pero no significa que en una triangular se inviertan individualmente todas sus casillas.
Transponer cofactores sí importa
Para filas (2,1),(3,2), construye la inversa con cofactores.
Determinante
Cuatro menos tres: uno.
Cofactores
Tabla de filas (2,−3),(−1,2).
Transpuesta
Adjunta de filas (2,−1),(−3,2).
Dividir
El determinante es uno, así que esa adjunta es la inversa.
Filas (2,−1),(−3,2).
La casilla (1,2) del producto es 2·(−1)+1·2=0; sin transponer saldría otra cosa.
Una triangular de orden tres
A tiene filas (1,1,0),(0,1,1),(0,0,1). Comprueba la candidata de filas (1,−1,1),(0,1,−1),(0,0,1).
Primera fila del producto
Suma las dos primeras filas de la candidata: (1,0,0).
Segunda
Suma las dos últimas: (0,1,0).
Tercera
Conserva su última fila: (0,0,1).
La candidata es A⁻¹.
Las entradas fuera de la diagonal también deben ajustarse para cancelar las sumas que hacía A.
6. Para despejar multiplicamos por el lado que permite juntar las inversas
La asociatividad permite reagrupar; no permite cambiar el orden.
Si AXB=C y A y B son invertibles de tamaños compatibles, eliminamos A por la izquierda y B por la derecha: X=A⁻¹CB⁻¹. Anotamos primero las dimensiones para comprobar que cada producto existe.
Dos ecuaciones parecidas dan soluciones distintas
A tiene filas (1,1),(0,1) y B es diagonal (2,3). Resuelve AX=B y XA=B.
Inversa
A⁻¹ tiene filas (1,−1),(0,1).
Primera ecuación
A⁻¹B tiene filas (2,−3),(0,3).
Segunda
BA⁻¹ tiene filas (2,−2),(0,3).
En AX=B: X=(2,−3),(0,3). En XA=B: X=(2,−2),(0,3), por filas.
Sustituir en cada orden recupera la misma B; las dos X no tienen por qué coincidir.
Un factor a cada lado
A es diagonal (2,1), B diagonal (1,3). Resuelve AXB=I₂.
Quitar A
XB=A⁻¹.Quitar B por la derecha
X=A⁻¹B⁻¹.Calcular
Diagonal (1/2,1) por diagonal (1,1/3): diagonal (1/2,1/3).
X es diagonal (1/2,1/3).
En el producto original las entradas diagonales son 2·(1/2)·1=1 y 1·(1/3)·3=1.
7. Deshacemos un producto en orden contrario
Si primero se aplica B y después A, para volver deshacemos A y luego B.
Al multiplicar, A⁻¹ y A se juntan por asociatividad y se obtiene la identidad.
No existe una regla parecida para separar inversas de sumas. Incluso dos matrices invertibles pueden sumar una singular.
Comprobar el orden con números
A tiene filas (1,1),(0,1); B es diagonal (2,1). Encuentra (AB)⁻¹.
Producto original
AB tiene filas (2,1),(0,1).
Inversas en orden contrario
B⁻¹A⁻¹ tiene filas (1/2,−1/2),(0,1).
Revisión
La casilla (1,2) de AB por esa candidata es 2·(−1/2)+1=0.
Filas (1/2,−1/2),(0,1).
A⁻¹B⁻¹ daría −1 en su casilla (1,2), que no cancela el producto original.
Una suma no se deshace sumando inversas
Toma A=B=I₂.
Suma
A+B=2I₂, inversa (1/2)I₂.Suma de inversas
A⁻¹+B⁻¹=2I₂: otro resultado.Fallo de existencia
Con A=I₂ y B=−I₂, ambos invertibles, A+B=0 no tiene inversa.
No hay propiedad general que separe la inversa de una suma.
La prueba es multiplicar la candidata por la matriz completa y exigir I.
8. Una comprobación mira toda la identidad; sin inversa todavía puede haber soluciones
Para revisar una candidata comprobamos los unos diagonales y los ceros exteriores. En matrices cuadradas exactas, demostrar un producto igual a I ya fuerza la inversa de ambos lados; calcular ambos órdenes puede servir como control adicional.
Si A es singular, Ax=b puede tener soluciones para ciertos b y ninguna para otros. Lo que no tiene es una solución única para toda salida b. Usamos Gauss para estudiar el sistema concreto. Incluso con A invertible, resolver un sistema directamente puede requerir menos trabajo que calcular toda A⁻¹.
Una casilla falsa basta para descartar
Para A de filas (1,1),(0,1), alguien propone B de filas (1,1),(0,1).
Diagonal
Los dos productos diagonales de AB valen uno.
Casilla exterior
La (1,2) vale 1·1+1·1=2.Conclusión
AB no es I, aunque su diagonal sea correcta.
B no es la inversa.
La candidata correcta cambia a −1 su casilla superior derecha para que 1·(−1)+1·1 sea cero.
Resolver un caso singular sin inventar una división
A tiene filas (1,1),(2,2). Compara b=(3,6) y b=(3,7).
Primera salida
Las ecuaciones repiten x+y=3: soluciones (3−t,t).Segunda salida
Restar dos veces la primera ecuación a la segunda da 0=1.
Clasificar
Infinitas para el primer b y ninguna para el segundo.
La misma matriz sin inversa puede dar un sistema compatible o incompatible.
No se escribe x=A⁻¹b cuando A⁻¹ no existe.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Inversa diagonal
Halla la inversa de la diagonal de entradas 2 y 5.
Reconocer la diagonal
A escala la primera coordenada por dos y la segunda por cinco.
Deshacer cada escala
Necesitamos los factores 1/2 y 1/5.
Construir
A⁻¹ es diagonal (1/2,1/5), con ceros fuera.
Comprobar
Los productos diagonales son uno y las otras entradas cero, en ambos órdenes.
Diagonal (1/2,1/5).
El producto tiene diagonal (1,1).
EJEMPLO RESUELTO 2
Dos por dos
A tiene filas (1,2),(0,1). Halla A⁻¹.
Leer la acción
A de filas (1,2),(0,1) envía (x,y) a (x+2y,y).
Recuperar
La segunda coordenada conserva y; restar dos veces esa coordenada a la primera recupera x.
Matriz inversa
Filas (1,−2),(0,1).
Producto
AA⁻¹ da filas (1,−2+2),(0,1)=(1,0),(0,1).Otro orden
A⁻¹A también tiene casilla (1,2)=2−2=0 y diagonal de unos.
Filas (1,−2),(0,1).
Multiplicar produce filas (1,0),(0,1).
Los símbolos que hemos usado
- A⁻¹
- Inversa de A: cumple AA⁻¹=A⁻¹A=I.
- I
- Identidad del tamaño requerido por la operación.
- det A
- Determinante de la matriz cuadrada A.
- [A|I]
- Tabla ampliada utilizada para calcular la inversa por filas.
- adj A
- Adjunta clásica: transpuesta de la matriz de cofactores.
- X
- Matriz incógnita de una ecuación matricial.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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