Sistemas lineales y eliminación de Gauss

Una ecuación lineal combina incógnitas con coeficientes constantes y sumas: por ejemplo, 2x−3y+z=5. No tiene cuadrados de incógnitas, productos entre ellas ni denominadores que dependan de ellas. Una letra sin coeficiente escrito tiene coeficiente uno; −z tiene coeficiente menos uno.

Una solución es una lista ordenada de valores.

Cada ecuación impone una condición; buscamos la intersección de todas. En dos incógnitas se ve como el cruce de rectas, aunque el método también funciona sin dibujar.

Elegimos un orden para las incógnitas, por ejemplo x,y,z. Pasamos sus términos al lado izquierdo y los números al derecho. Cada fila de [A|b] guarda los coeficientes de una ecuación; tras la barra va el término independiente.

Una incógnita ausente ocupa su columna con cero. No desplazamos las otras entradas para cerrar el hueco. La barra separa datos que multiplican incógnitas de la columna de resultados. Cambiar el orden de columnas exigiría registrar un cambio del orden de las variables.

Intercambiar ecuaciones no cambia sus soluciones. Multiplicar una por un número distinto de cero tampoco: después podemos dividir por él. Sumar a una ecuación un múltiplo de otra es reversible restando ese mismo múltiplo. Estas son las operaciones elementales de filas.

Se modifica también el término independiente. Si cambiamos solo los coeficientes, inventamos otra condición. Multiplicar por cero borra una ecuación y no se puede deshacer. Con un divisor que contiene un parámetro, primero separamos el caso en que sería cero.

Elegimos una entrada no nula como pivote; si hace falta, intercambiamos filas para colocarla. Sumamos múltiplos de esa fila a las inferiores para anular la misma columna. Repetimos más abajo y más a la derecha, dejando filas nulas al final.

La forma escalonada tiene pivotes que avanzan hacia la derecha. No es obligatorio que valgan uno ni que todas las casillas superiores sean distintas de cero. Si una columna no ofrece pivote, pasamos a la siguiente; nunca dividimos por cero para forzar una posición.

En la sustitución hacia atrás empezamos por la última ecuación útil. Con su incógnita calculada, subimos a la anterior y repetimos. Si hay un pivote para cada incógnita, esto reconstruye la solución única.

Gauss-Jordan continúa creando ceros por encima de los pivotes y los normaliza a uno. La forma reducida permite leer directamente las variables básicas. Ambos procedimientos conservan las mismas soluciones; para un sistema pequeño no es obligatorio reducir toda la tabla si sustituir hacia atrás es más corto.

Una sola contradicción basta para que todo el sistema sea incompatible.

El rango de A cuenta pivotes del bloque de coeficientes, y el de [A|b] incluye también la última columna. Si esta crea un pivote adicional, los rangos difieren y no hay solución. Si coinciden, el sistema es compatible; falta contar variables libres para saber si la solución es única.

Si un sistema compatible tiene n incógnitas y rango r, deja n−r variables libres. Elegimos un parámetro real independiente para cada una y despejamos las variables con pivote. Un solo ejemplo numérico no describe toda la familia.

En un sistema homogéneo, todos los términos independientes son cero y la solución nula siempre existe. Sus soluciones forman un subespacio: las combinaciones lineales de soluciones siguen cumpliendo las ecuaciones. Con términos no nulos, si el sistema es compatible, su conjunto de soluciones es una traslación del núcleo.

Un parámetro k fija un sistema distinto para cada valor. No es automáticamente una variable libre de su solución. Si aparece un pivote k−1, podemos dividir por él solo cuando k≠1; en k=1 volvemos a interpretar la fila que queda.

El valor excepcional puede producir redundancia o contradicción, según el término independiente. Por eso no basta decir que el método falla cuando el pivote se anula: ese caso tiene una clasificación que todavía debemos estudiar.

Una solución numérica se sustituye en todas las ecuaciones iniciales. Una familia se comprueba simbólicamente para cualquier valor de sus parámetros. Revisar solo la última tabla no detectaría un error que se cometió al formar la ampliada.

Usamos fracciones exactas para distinguir un cero de un número pequeño. Elegir un pivote sencillo puede ahorrar trabajo, pero no cambia el objetivo: operaciones reversibles y soluciones completas. El método funciona también con más ecuaciones que incógnitas o al revés.