Tres copias de x y dos copias más son cinco: 3x + 2x = 5x. Pero x y x² no representan el mismo bloque. Desde esa diferencia construiremos los polinomios y aprenderemos a sumarlos, restarlos y multiplicarlos, escribiendo primero todos los pasos.
Si necesitas repasar:
1. Un monomio es un bloque; un polinomio suma esos bloques
Un monomio en x es una constante multiplicada por una potencia de x con exponente entero no negativo. Ejemplos: 3x², −2x y 5. La constante 5 también es un monomio: no necesita mostrar la variable. Un polinomio es una suma finita de esos términos, como 3x² − 2x + 5.
Los exponentes permitidos son 0, 1, 2, 3… Una expresión como 1/x = x⁻¹ no es un polinomio en x; tampoco √x, cuyo exponente sería 1/2. Sí pueden aparecer coeficientes fraccionarios: (1/2)x² es un monomio porque la fracción multiplica y el exponente de x es dos.
La fracción puede estar en el coeficiente
¿(3/4)x² + 2x − 1 es un polinomio en x?
Revisamos los exponentes de la variable
Son dos, uno y cero para la constante.
Revisamos la fracción
3/4 es un coeficiente; no es un exponente negativo ni un divisor variable.
Sí, es un polinomio en x.
No se exige que todos los coeficientes sean enteros.
La variable en el denominador
¿x² + 1/x es un polinomio en x?
Reescribimos el segundo término
1/x = x⁻¹ para x ≠ 0.Revisamos el exponente
Menos uno no es un entero no negativo.
No es un polinomio en x.
Que una parte sea x² no convierte toda la expresión en polinomio.
2. El coeficiente multiplica; el grado señala la potencia mayor
En −4x³, el coeficiente es −4 y el exponente es 3. El signo forma parte del coeficiente. En x el coeficiente es 1 y el exponente es 1; en −x son −1 y 1. No confundimos el número de delante con el de arriba.
Tras reunir los términos semejantes, el grado de un polinomio no nulo es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero. En 2x³ − x + 6 es tres. Podemos escribir 2x³ + 0x² − x + 6 para ver que no hay término cuadrático. No asignamos aquí un grado ordinario al polinomio cero.
| Potencia | x³ | x² | x | Constante |
|---|---|---|---|---|
| Coeficiente en 2x³ − x + 6 | 2 | 0 | −1 | 6 |
Un coeficiente negativo
Identifica coeficiente y grado del monomio −7x⁴.
Leemos el factor numérico
Es −7 completo, incluido su signo.
Leemos el exponente de x
Es cuatro.
Coeficiente: −7. Grado del monomio: 4.
El siete no es el grado: indica cuántas copias con signo del bloque x⁴ tenemos.
Una potencia puede desaparecer al reducir
Halla el grado de 3x³ − 3x³ + 5x² + 1.
Reunimos los términos cúbicos
3x³ − 3x³ = 0.Leemos el polinomio reducido
5x² + 1 tiene mayor exponente dos.
El grado es 2.
No elegimos tres antes de comprobar que su coeficiente final es cero.
3. Solo reunimos términos con la misma parte literal
Usamos la propiedad distributiva al revés. En 3x² + 2x no hay un mismo bloque: x² y x son potencias distintas, así que no sumamos los coeficientes para convertirlo en 5x² ni en 5x.
En varias variables también deben coincidir letras y exponentes.
Pero x²y y xy² no tienen la misma parte literal. Primero ordenamos los factores para compararlos con claridad.
Agrupar lo que coincide
Reduce 7x² − 2x² + 3x.
Elegimos los términos cuadrados
7x² − 2x² = (7 − 2)x² = 5x².Conservamos el término diferente
3x no se suma con x².
El resultado es 5x² + 3x.
Para x = 2, ambos lados dan 26, una comprobación de este caso.
Signos de los coeficientes
Reduce −4a + a − 2.
Hacemos visible el coeficiente uno
−4a + 1a.
Sumamos coeficientes de a
−4 + 1 = −3.Conservamos la constante
Queda −3a − 2.
El resultado es −3a − 2.
El −2 no lleva a, por lo que permanece como otro tipo de término.
4. Sumar conserva los términos; restar cambia todos los del sustraendo
Para sumar (2x² + x − 3) + (x² − 4x + 1), copiamos todos los términos con sus signos: 2x² + x − 3 + x² − 4x + 1. Ahora reunimos cuadrados: 3x²; términos x: −3x; constantes: −2. Resultado: 3x² − 3x − 2.
Para restar el segundo polinomio, el menos afecta a todo el paréntesis.
Es multiplicar cada término por −1. No cambia solo el primero: también cambia el signo de los que estaban restando dentro.
Una suma en columnas mentales
Suma (4x² − x + 2) y (−x² + 3x − 5).
Escribimos juntos los términos
4x² − x + 2 − x² + 3x − 5.
Reunimos por tipo
(4 − 1)x² + (−1 + 3)x + (2 − 5).
Calculamos coeficientes
3x² + 2x − 3.
La suma es 3x² + 2x − 3.
Cada término original ha entrado una sola vez con su signo.
El menos cambia también la constante
Calcula (5x + 1) − (2x − 4).
Quitamos el paréntesis del sustraendo
5x + 1 − 2x + 4.
Reunimos semejantes
(5 − 2)x + (1 + 4) = 3x + 5.
La diferencia es 3x + 5.
Restar el −4 aporta +4. Para x = 0, la cuenta original es 1 − (−4) = 5.
5. En un producto operamos signos, coeficientes y potencias
Las potencias de igual base se multiplican contando factores: x² · x³ = x⁵. Resultado: −6x⁵. Sumar exponentes aquí no significa que se sumen cuando estamos sumando monomios.
Para multiplicar un monomio por una suma, distribuimos a todos los términos. 2x(x² − 3x + 4) tiene tres productos: 2x³, −6x² y 8x. Es útil marcar cada término del paréntesis para que ninguno quede sin multiplicar.
Dos signos negativos
Multiplica (−2x³)(−4x²).
Calculamos los coeficientes con signo
(−2)(−4) = 8.Contamos factores de x
x³ · x² = x⁵.
El producto es 8x⁵.
En x = 1, los factores valen −2 y −4; su producto es positivo, ocho.
Un monomio reparte a dos términos
Desarrolla −3x(2x − 5).
Primer producto
−3x · 2x = −6x².Segundo producto
−3x · (−5) = 15x.Reunimos sin mezclar potencias
−6x² + 15x.
El resultado es −6x² + 15x.
El signo del segundo producto es positivo porque multiplica dos negativos.
6. Cada término del primer polinomio multiplica a todos los del segundo
La tabla organiza (x + 2)(x + 3). La primera fila multiplica x por x y por tres: x² y 3x. La segunda multiplica dos por x y por tres: 2x y seis. Hay cuatro productos porque hay dos elecciones en cada factor: 2 × 2 = 4.
Sumamos las cuatro casillas: x² + 3x + 2x + 6. Solo los términos 3x y 2x son semejantes; dan 5x. Resultado: x² + 5x + 6. Multiplicar únicamente los primeros y los últimos olvidaría los dos productos cruzados.
Dos términos en cada factor
Multiplica (x + 4)(x − 1).
Multiplicamos x por los dos términos
x² − x.
Multiplicamos cuatro por los dos
4x − 4.
Sumamos y reducimos
x² − x + 4x − 4 = x² + 3x − 4.
El producto es x² + 3x − 4.
Se han generado cuatro productos; después dos se reunieron.
Dos por tres exige seis productos
Desarrolla (x + 1)(x² − x + 2).
Distribuimos x
x³ − x² + 2x.
Distribuimos uno
x² − x + 2.
Reunimos las seis aportaciones
x³ + (−x² + x²) + (2x − x) + 2 = x³ + x + 2.
El resultado es x³ + x + 2.
Los términos cuadrados se cancelan; no significa que faltaran productos.
7. El grado ayuda a revisar; dividir requiere otras condiciones
Al sumar polinomios, el grado puede bajar si se cancelan los términos mayores. Al multiplicar dos polinomios no nulos, sus grados se suman: el término de mayor potencia de cada uno produce un término de grado total que no desaparece. Un grado dos por otro de grado uno debe dar grado tres.
Dividir polinomios no siempre da otro polinomio sin resto.
Al dividir entre x − 1 queda un cociente x + 1 y un resto dos.
A continuación construiremos el cociente paso a paso.
Revisar el grado del producto
¿Puede (2x² + 1)(3x − 4) reducirse a un polinomio de grado dos?
Identificamos los grados
Dos y uno.
Multiplicamos los términos mayores
2x² · 3x = 6x³, que no se cancela con otro cúbico.
No; el producto tiene grado 3.
Esperamos un término cúbico, aunque otros coeficientes puedan cambiar al reducir.
Cancelar no elimina una restricción original
Simplifica 6x³/(3x) e indica los valores permitidos.
Revisamos el divisor
3x debe ser distinto de cero: x ≠ 0.Dividimos coeficientes y cancelamos una x
6/3 = 2 y x³/x = x² para esos valores.
Queda 2x², con x ≠ 0 en la expresión original.
El polinomio 2x² sí tiene valor en cero, pero la fracción original no lo tenía.
8. En la división elegimos un término, multiplicamos y restamos
Dividimos x² + 3x + 2 entre x + 1.
Multiplicamos el divisor por esa x y obtenemos x² + x.
Multiplicamos el divisor por dos: 2x + 2. Al restarlo queda cero. El cociente reúne los términos elegidos, x + 2, y el resto es cero.
Si el resto no es cero, paramos cuando su grado es menor que el del divisor: ya no podemos cancelar su término mayor mediante otro término polinómico del cociente. Escribimos potencias ausentes con coeficiente cero para alinear bien las restas.
Una división exacta
Divide 2x² + 5x + 2 entre x + 2.
Elegimos el primer término del cociente
2x² ÷ x = 2x.Multiplicamos y restamos
2x(x + 2) = 2x² + 4x; al restarlo queda x + 2.Elegimos el segundo término
x ÷ x = 1; restamos 1(x + 2) y queda cero.Comprobamos
(x + 2)(2x + 1) = 2x² + 5x + 2.
Cociente: 2x + 1. Resto: 0.
Como igualdad entre fracciones, el resultado exige x ≠ −2; la identidad de reconstrucción vale para todo x.
Una división con resto
Divide x² + 1 entre x − 1.
Escribimos la potencia ausente
x² + 0x + 1.
Elegimos x y restamos su producto
x(x − 1) = x² − x; queda x + 1.Elegimos uno y restamos otra vez
1(x − 1) = x − 1; (x + 1) − (x − 1) = 2.Interpretamos el final
El resto dos tiene grado cero, menor que el grado uno del divisor.
Cociente: x + 1. Resto: 2.
(x − 1)(x + 1) + 2 = x² − 1 + 2 = x² + 1.
9. Una comprobación numérica detecta errores, pero la distributiva justifica la igualdad
Tras operar, prueba un valor sencillo en la expresión original y en el resultado. Si difieren, hay un error seguro. x = 0 comprueba rápidamente las constantes; x = 1 suma los coeficientes. Un valor que anula muchos términos también puede ocultar un error, así que no basta probar siempre cero.
La justificación general es que hemos distribuido todos los productos y reunido solo términos semejantes. Un ejemplo numérico no demuestra por sí solo que dos polinomios sean iguales para todo x. Por eso conservamos los pasos algebraicos y usamos los números como revisión.
Encontrar productos cruzados que faltan
Alguien propone (x + 2)(x + 3) = x² + 6. Refútalo con x = 1.
Evaluamos el producto original
(1 + 2)(1 + 3) = 3 · 4 = 12.Evaluamos la propuesta
1² + 6 = 7.Localizamos lo omitido
Faltan 3x y 2x, los productos cruzados.
La propuesta es falsa; el resultado correcto es x² + 5x + 6.
En x = 0 ambos habrían dado seis: ese caso solo no habría detectado el error.
Comprobar un menos exterior
Comprueba para x = 2 que (4x − 1) − (x + 3) = 3x − 4.
Calculamos la izquierda
(8 − 1) − (2 + 3) = 7 − 5 = 2.Calculamos la derecha
3 · 2 − 4 = 2.Recordamos la justificación general
4x − 1 − x − 3 = 3x − 4.
Ambos lados dan 2 en ese dato y la reducción algebraica justifica la igualdad general.
La comprobación confirma un caso; cambiar ambos signos del sustraendo explica la regla.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Restar polinomios
Calcula (3x²+2x−1)−(x²−4x+5).
Identificamos el sustraendo completo
Se resta todo el polinomio x² − 4x + 5.
Distribuimos el menos a sus tres términos
3x² + 2x − 1 − x² + 4x − 5.
Reunimos cuadrados
(3 − 1)x² = 2x².Reunimos términos lineales
2x + 4x = 6x.Reunimos constantes
−1 − 5 = −6.Escribimos el resultado
2x² + 6x − 6.
2x²+6x−6.
En x=1: 4−2=2 y 2+6−6=2.
EJEMPLO RESUELTO 2
Multiplicar
Calcula (x+2)(x−3).
Multiplicamos x por ambos términos
x · x + x · (−3) = x² − 3x.Multiplicamos dos por ambos términos
2 · x + 2 · (−3) = 2x − 6.Juntamos los cuatro productos
x² − 3x + 2x − 6.
Reducimos los términos semejantes
−3x + 2x = −x; queda x² − x − 6.Comprobamos en x = 1
(1 + 2)(1 − 3) = −6 y 1 − 1 − 6 = −6.
x²−x−6.
En x=0, ambos lados valen −6.
Los símbolos que hemos usado
- axⁿ
- Monomio: coeficiente real a multiplicado por una potencia de exponente entero n≥0.
- a
- Coeficiente numérico de un monomio.
- xⁿ
- Parte literal de un monomio de una variable.
- P(x)
- Polinomio en x: suma finita de monomios.
- Grado
- Mayor exponente con coeficiente no nulo en un polinomio no nulo de una variable.
- Término independiente
- Coeficiente de x⁰; no depende de x.
- Términos semejantes
- Monomios con la misma parte literal, incluidos sus exponentes.
- Coeficiente principal
- Coeficiente del término de mayor grado después de reunir términos semejantes.
- Binomio / trinomio
- Polinomio con dos / tres términos no nulos, después de simplificar.
- Evaluar P(r)
- Sustituir cada x por el valor r y efectuar las operaciones.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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