Estimación, redondeo y error

Si una caja contiene 198 piezas y tenemos cinco cajas iguales, una estimación rápida usa 200 por caja: unas 1000 piezas.

La estimación responde a «aproximadamente cuántas», pero no sustituye un inventario exacto.

Antes de recortar cifras, fijamos para qué necesitamos el resultado y qué precisión se ha pedido.

A unidades, los resultados posibles van de uno en uno: 2, 3, 4… A décimas, de 0,1 en 0,1: 2,3; 2,4; 2,5… A centésimas, de 0,01 en 0,01. Esa separación se llama aquí paso de aproximación.

Para aproximar 2,37 a décimas, las dos marcas vecinas son 2,3 y 2,4. La recta del dibujo permite comparar distancias. Está a 0,07 de la primera y a 0,03 de la segunda: la más cercana es 2,4. La regla de mirar una cifra es un atajo para elegir esa marca cercana.

Truncar 3,478 a centésimas significa conservar dos decimales y eliminar el resto: 3,47. Redondear el mismo número a centésimas pide la centésima más cercana: 3,48, porque está a 0,002 frente a 0,008 de la otra.

Para positivos, en el redondeo habitual miramos la primera cifra eliminada. Si es menor que cinco, se conserva la última cifra retenida; si es mayor que cinco, se aumenta una unidad de esa posición. Si es cinco, se decide el empate o el lado del punto medio según las cifras que sigan y la convención.

Fijaremos esa convención en el siguiente paso.

Usaremos redondeo al más cercano y, en un empate exacto, elegiremos el valor más alejado de cero. Así 2,35 a décimas pasa a 2,4 y −2,35 pasa a −2,4. Existen otras convenciones, como empate al par; si un ejercicio fija una, la seguimos.

Con negativos, truncar elimina cifras hacia cero: −2,39 a décimas queda −2,3. Redondear busca el más cercano y da −2,4. No aplicamos «siempre aumenta el número» sin revisar su signo: −2,4 es menor que −2,3, pero está más cerca del dato.

Un acarreo puede cambiar más de una cifra. Para 9,98 a décimas, la siguiente cifra es ocho: subir una décima a 9,9 produce 10,0. Escribimos ese cero si queremos dejar clara la posición decimal solicitada.

Si un valor de referencia es 20 mm y usamos 19,6 mm, nos hemos separado 0,4 mm. La separación se calcula como valor absoluto de la diferencia: Eₐ = |aproximación − referencia|. El valor absoluto evita que el error cambie de signo según nos pasemos o nos quedemos cortos.

El error absoluto se expresa en la misma unidad que el dato: mm para una longitud en mm, segundos para un tiempo en segundos. Para conocerlo exactamente necesitamos conocer el valor de referencia; si el verdadero valor es desconocido, no inventamos un error exacto y podemos trabajar con una cota justificada.

Un error de 1 mm no pesa lo mismo respecto a una longitud de 10 mm que respecto a otra de 1000 mm. Para compararlo calculamos Eᵣ = Eₐ/|referencia|, siempre que la referencia sea distinta de cero. Usamos la misma unidad arriba y abajo; se cancela y el resultado no tiene unidad.

Para expresarlo en porcentaje, multiplicamos esa fracción por cien.

Un 2 % de veinte es 0,4. Si la referencia es cero, este error relativo no está definido; todavía podemos informar del error absoluto.

Dos décimas consecutivas están separadas por 0,1. El punto más alejado de ambas dentro de ese intervalo es el medio, a 0,05 de cada una. Al elegir siempre la más cercana, el error absoluto no puede superar 0,05. Esta cota incluye el caso de empate.

En general, para un paso h, el redondeo al más cercano tiene error absoluto como máximo h/2.

Truncar tiene otra garantía: en este contexto su error es menor que un paso, pero puede superar medio paso.

Si un cálculo usa 1/3 tres veces, conservar la fracción da 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1. Redondear cada parte a 0,33 antes de sumar da 0,99. Los pequeños cambios de pasos intermedios pueden acumularse.

Cuando sea posible, trabajamos con fracciones exactas o guardamos suficientes cifras internas y redondeamos al terminar. Después indicamos la precisión y usamos ≈ si el valor fue aproximado. Un resultado escrito con muchos decimales no es automáticamente más fiable si sus datos iniciales eran aproximados.