Números naturales y enteros

Un termómetro marca cuatro grados por debajo de cero. Escribimos −4 °C: el 4 cuenta cuánto nos separamos del cero y el menos indica hacia qué lado. Si marca tres grados por encima, escribimos +3 °C o simplemente 3 °C. Los dos números usan la misma referencia.

Los enteros son …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Los positivos quedan por encima de cero y los negativos por debajo. El 0 no es positivo ni negativo. Las fracciones como 1/2 no pertenecen a este conjunto. El símbolo ℤ nombra el conjunto de los enteros.

Una cantidad negativa no significa siempre deuda: su sentido depende del contexto. Puede indicar una planta bajo la planta cero, un cambio que disminuye o una posición a la izquierda. Aquí llamamos naturales a 0,1,2,…; si otro libro empieza en 1, está usando otra convención para ese nombre.

Colocamos el cero y marcas separadas siempre por la misma distancia. A la derecha van 1, 2, 3,… y a la izquierda −1, −2, −3,… Un número situado más a la derecha es mayor; uno situado más a la izquierda es menor.

Así −2 es mayor que −6: en una temperatura, dos grados bajo cero es más cálido que seis bajo cero. El tamaño de la cifra sin su signo no decide el orden. Todo negativo es menor que cero y que cualquier positivo.

Los signos < y > expresan «menor que» y «mayor que».

Ordenar de menor a mayor equivale a recorrer los puntos de izquierda a derecha.

El opuesto de 4 es −4 y el opuesto de −4 es 4: misma distancia a cero y lados contrarios. Al sumar un número con su opuesto sale cero. El opuesto de cero sigue siendo cero.

El valor absoluto mide solo la distancia a cero.

Una distancia es no negativa. El opuesto, en cambio, cambia el lado; puede ser positivo, negativo o cero.

Si a representa un número, −a significa su opuesto, no necesariamente un resultado negativo.

Poner la entrada entre paréntesis hace visible qué número completo se está tomando como opuesto.

Empezamos en −5 y aumentamos 8. Cinco pasos a la derecha nos llevan a cero y quedan tres; llegamos a 3.

Empezar en 4 y sumar −7 pide ir siete pasos a la izquierda; llegamos a −3.

También podemos representar cada +1 y cada −1 con fichas. Una pareja de opuestos suma cero. En −4 + 7 compensamos cuatro parejas y quedan tres positivos. En −6 + 2 compensamos dos parejas y quedan cuatro negativos.

Con dos números del mismo signo, sus magnitudes se suman y ese signo se conserva. Con signos distintos, se compensan: restamos las magnitudes y queda el signo del número de mayor valor absoluto. Si las magnitudes son iguales, queda cero. Para varias cantidades podemos agrupar todos los positivos y todos los negativos, conservando cada signo.

Restar 3 a 8 pide encontrar qué número, al sumarle 3, recupera 8. Ese número es 5. Con el mismo significado, restar −3 a 8 pide una llegada que, al sumarle −3, recupere 8.

Por eso restar un número equivale a sumar su opuesto: a − b = a + (−b). Si restamos +4, sumamos −4. Si restamos −4, sumamos +4. La regla habla de la operación de resta; todavía no hay un producto.

En −2 − (−6), el primer menos pertenece al número inicial, el central indica restar y el del paréntesis pertenece a la cantidad restada. Reescribir −2 + 6 permite usar la suma que ya entendemos.

Un positivo por un negativo da negativo. Intercambiar los factores no cambia el producto, así que (−4)·3 también vale −12.

Para entender dos negativos, conservamos la distributiva: multiplicar una suma equivale a sumar los productos.

El producto que falta debe ser +6 para compensar −6.

Así resumimos: signos iguales dan producto positivo y signos distintos dan producto negativo. Después multiplicamos los valores absolutos. Si algún factor es cero, todo el producto es cero. Estas reglas describen productos, no sumas.

24 ÷ 6 pregunta qué número multiplicado por 6 da 24. La respuesta es 4. Para (−24) ÷ 6, necesitamos un número que al multiplicarlo por +6 dé −24: es −4. La división se comprueba con la multiplicación.

Cuando el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, el cociente es positivo; con signos distintos es negativo. La razón es la regla de productos que tiene que reconstruir el dividendo. El divisor nunca puede ser cero.

Una división entre enteros no tiene por qué dar otro entero: 5 ÷ 2 = 2,5. El cálculo existe, pero su resultado sale del conjunto ℤ. En cambio, 0 dividido entre un entero no nulo vale 0; dividir entre 0 sigue sin estar permitido.

Antes de aplicar una regla identificamos la operación: −8 + 3 combina cantidades por compensación; (−8)·3 repite un factor negativo. Dan −5 y −24. Con los mismos números, las operaciones piden trabajos diferentes.

Para revisar una suma, podemos deshacer el cambio. Para revisar una resta, sumamos de nuevo lo restado. Para un cociente, multiplicamos por el divisor. Además, interpretamos el signo: una subida debe llevar a una posición mayor y una bajada a una menor, aunque ambas queden bajo cero.

Con sumas y restas de varias cantidades, podemos comparar dos recorridos válidos: uno por orden y otro agrupando los sumandos con su signo. No cambiamos arbitrariamente los paréntesis de una resta; primero la escribimos como suma de opuestos.