Fracción generatriz de decimales exactos y periódicos

0,125 termina: es un decimal exacto. 0,565656… repite para siempre el bloque 56: es periódico puro porque la repetición comienza justo después de la coma. En 2,083333… solo se repite el 3; las cifras 08 aparecen antes del período y forman el anteperíodo.

Usaremos m para contar cifras del anteperíodo y r≥1 para las del período. La parte entera no se cuenta en m. Los ceros sí ocupan posiciones. Unos puntos suspensivos sin patrón declarado no determinan por sí solos una repetición infinita.

Cada cifra después de la coma representa décimas, centésimas, milésimas… Con k cifras decimales, multiplicar por 10ᵏ deja un entero A.

Después se reduce la fracción.

Reducir significa dividir todo el numerador y todo el denominador por un mismo factor no nulo. No se borran cifras parecidas. Añadir ceros finales al decimal da otra fracción equivalente, sin cambiar el número.

Si x=0,565656…, mover dos posiciones da 100x=56,565656… Las partes después de la coma coinciden exactamente.

En general, para un período de r cifras usamos 10ʳx−x. El factor 10ʳ−1 tiene r nueves. Con parte entera también hay que restarla: el numerador no es siempre solo el bloque repetido.

Para x=2,083333…, multiplicar por 100 deja 100x=208,3333… Ahora el período empieza tras la coma. Multiplicar el número inicial por 1000 da 1000x=2083,3333… Son esas dos filas las que tienen la misma cola.

El denominador tiene un nueve por la cifra del período y dos ceros por las dos cifras del anteperíodo; la resta del numerador también es necesaria.

No buscamos una última cifra: ambas expresiones contienen el mismo número real.

Formalmente un decimal infinito es el límite de sus truncamientos. Si dos colas comparten las primeras n cifras, su diferencia es como máximo 10⁻ⁿ. Si comparten todas, ninguna diferencia positiva puede quedar por debajo de todas esas cotas. Esto justifica que las colas iguales se cancelen.

Al dividir enteros por d>0, cada resto es uno de 0,1,…,d−1. Si aparece cero, la expansión termina. Si vuelve un resto no nulo, las siguientes operaciones son las mismas y se repiten las cifras.

Una fracción reducida admite decimal finito exactamente cuando su denominador solo contiene factores primos 2 y 5: pueden completarse hasta una potencia de diez. Si queda otro primo, la expansión no termina y acaba siendo periódica. Por tanto finitos y periódicos son racionales; un irracional no es eventualmente periódico.

No queda una diferencia real positiva «después de infinitas cifras». Los truncamientos 1−10⁻ⁿ tienen límite uno.

Por eso un número con expansión finita puede tener también una que termina en nueves infinitos. No es redondeo. Con un número finito de nueves sí queda una diferencia positiva.

Con m cifras de anteperíodo y r de período, sea A el entero formado por parte entera, anteperíodo y una copia del período, y B el formado sin esa copia.

Entonces .

Siempre se reduce y se comprueba.

Para un número negativo convertimos su valor absoluto y aplicamos el signo a toda la fracción. Se puede usar un bloque periódico no mínimo, pero dará una fracción más grande equivalente. Ninguna regla autoriza a perder ceros, parte entera o paréntesis del signo.