Categorías derivadas y trianguladas

Los ciclos de grado n están en ker dⁿ; los bordes, en im dⁿ⁻¹. La composición cero incluye los bordes en los ciclos, así que tiene sentido.

Acíclico significa que todos los Hⁿ son cero, no que todos los términos sean cero. En dos términos de grados cero y uno, H⁰ es el núcleo de la única flecha y H¹ su conúcleo. Cambiar los coeficientes puede cambiar ambos.

Eso lleva ciclos a ciclos y bordes a bordes, e induce Hⁿ(f). Las componentes deben comprobar esa identidad, no solo tener los mismos grados.

Sobre un ciclo, su diferencia es un borde, así que inducen el mismo mapa en H. La categoría K(R) identifica mapas homotópicos, manteniendo los complejos como objetos.

Sus componentes no tienen por qué ser isomorfismos. Una resolución de un módulo, colocada en grados adecuados, es una fuente habitual de esos reemplazos.

Tener cohomologías abstractamente isomorfas no demuestra que una aplicación dada las preserve. Tampoco una lista de grupos clasifica en general todos los objetos derivados: pueden quedar datos de extensión entre grados.

D(R) se obtiene de K(R) haciendo invertibles los cuasi-isomorfismos. Su propiedad universal permite factorizar los funtores que ya los invierten. Un morfismo puede representarse mediante un techo C←P→D, con flecha izquierda cuasi-isomorfismo y las equivalencias pertinentes.

No todo morfismo derivado está representado por un mapa directo entre los complejos inicialmente escritos. Una resolución proyectiva apropiada permite ver mapas que una presentación demasiado corta oculta. En esta entrada trabajamos con módulos y las construcciones usuales que controlan los conjuntos de morfismos.

Fijamos y .

En particular un módulo concentrado en grado cero pasa al grado menos uno con [1].

El desplazamiento es una autoequivalencia, con inverso [−1]. Su signo forma parte de la convención compatible con conos y rotaciones de triángulos. Una convención homológica que baje grados requiere traducir índices y signos antes de reutilizar fórmulas.

Para f: C→D, definimos con d(y, x)=(d_Dy+f(x),−d_Cx). Aplicar d otra vez produce en la primera coordenada d_Df(x)−f(d_Cx), que es cero por la condición de mapa; las otras partes se anulan por d²=0.

Los mapas C→D→Cone(f)→C[1], con inclusión y proyección en las sumas, forman el triángulo de cono. El cono no es solo un conúcleo término a término: la copia desplazada de C incorpora también el núcleo.

Una categoría triangulada es aditiva, tiene desplazamiento autoequivalente y una clase de triángulos distinguidos. Los axiomas incluyen identidad con tercer objeto cero, completar todo morfismo, isomorfismos y rotaciones, con la última flecha −f[1] en la rotación de C→D→E→C[1].

También permiten completar cuadrados a mapas de triángulos y relacionan conos de composiciones mediante el axioma octaédrico. En las categorías de complejos y derivadas la verificación de esos axiomas a partir de conos es un teorema. No toda tercera flecha elegida libremente sirve.

Un triángulo distinguido C→D→E→C[1] da una sucesión exacta larga …→Hⁿ(C)→Hⁿ(D)→Hⁿ(E)→Hⁿ⁺¹(C)→… . Para E=Cone(f), la exactitud demuestra que el cono es acíclico si y solo si todos los Hⁿ(f) son isomorfismos.

En D(R), todo complejo acíclico es isomorfo a cero: su mapa al complejo cero es cuasi-isomorfismo. En K(R) puede no serlo, porque ser homotópico a cero es una exigencia más fuerte.

Las resoluciones permiten organizar Hom y tensor junto con sus derivados en complejos. La categoría derivada reúne sus cohomologías y los mapas que las conectan, sin reducir todo a una lista desconectada de grupos.

Esta entrada fija complejos de módulos y ejemplos acotados. Las construcciones no acotadas y sus resoluciones apropiadas requieren más hipótesis; no se aplica cualquier resolución a cualquier funtor sin revisar esas condiciones.