Cálculo validado y aritmética de intervalos

X=[a,b], con a≤b, representa todos los reales x tales que a≤x≤b. Su anchura es b−a. Puede describir incertidumbre del dato, un conjunto de búsqueda o el error de un cálculo. El punto medio no es más probable por estar en el centro.

La meta es inclusión: un intervalo calculado debe contener cada resultado compatible con los datos. Una inclusión puede ser correcta y ancha. Se distinguen garantía y precisión; una banda estrecha que excluya el valor verdadero no sirve como certificado.

En la resta, el mayor segundo argumento produce el menor resultado: X−Y=[a−d,b−c]. Son imágenes exactas cuando las dos elecciones son independientes.

Si la expresión repite la misma variable, la aritmética básica sigue produciendo una inclusión, pero puede olvidar la relación entre apariciones. Antes de evaluar se comprueba qué datos representan variables distintas y cuáles son una misma cantidad.

El producto de dos intervalos independientes es . Para cada y fijo, xy es lineal en x y alcanza extremos en a o b; después se repite el argumento con y.

La fórmula cubre signos mixtos sin memorizar una regla distinta en cada caso. Un cuadrado de una misma variable conserva una relación adicional: si X contiene cero, el conjunto de cuadrados tiene mínimo cero, aunque X·X permita productos de signos contrarios.

X/Y se obtiene multiplicando por ese recíproco. La condición excluye un cero en un extremo y también en el interior.

Si el denominador contiene cero, algunas operaciones no están definidas y la imagen permitida puede ser no acotada o tener dos partes. Dividir extremos sin revisar esto puede perder valores. No se reemplaza un conjunto disjunto por un intervalo pequeño que omita sus ramas.

Un extremo exacto puede no tener representación finita en la aritmética usada. El inferior se redondea hacia menos infinito y el superior hacia más infinito. Esto se aplica a datos, operaciones y funciones elementales con implementación certificada, no solo al resultado final.

Convertir primero un decimal a coma flotante ordinaria y luego ponerle un intervalo puntual encierra ese número de máquina, que puede diferir del decimal matemático pretendido. Una biblioteca validada puede convertir una cadena decimal en un intervalo que sí lo incluya. No se inventa rigor añadiendo unos decimales arbitrarios.

Si x∈[1,2], X−X produce [−1,1] al tratar las apariciones como elecciones independientes.

El cuadrado de parejas y su diagonal permiten ver exactamente qué información se perdió.

Simplificar, completar cuadrados, subdividir el dominio o usar formas de Taylor puede estrechar inclusiones. Todas las reformulaciones tienen que ser algebraicamente válidas en el dominio: cancelar un denominador que puede ser cero cambiaría el conjunto donde la expresión está definida.

Si una inclusión de f(X) tiene extremo inferior estrictamente positivo, f es positiva en todo X. Si contiene cero, la prueba es inconclusa: puede haber una raíz o puede ser una sobreestimación.

Existencia se puede demostrar con continuidad y signos opuestos verificados en los extremos. Unicidad se puede añadir si f es continuamente diferenciable y una inclusión de f′ en X excluye cero. Esa derivada tiene un signo constante y f es estrictamente monótona.

Con f∈C¹(X), m∈X y una inclusión F′(X) de la derivada que excluye cero, cualquier raíz ξ∈X cumple por el teorema del valor medio. Se conserva X∩N(X).

Si esa intersección es vacía, no hay raíz en X. Si no es vacía, eso solo no demuestra existencia. Hay criterios de inclusión de Newton y otros operadores que sí la certifican con hipótesis adicionales; aquí usaremos existencia ya probada por signos para distinguir las afirmaciones.

Las operaciones intervalares pueden encerrar el resultado exacto de una fórmula finita. Para que esa fórmula aproxime una integral, una EDO o una EDP también se necesita una cota del resto de discretización, además de redondeo y propagación.

Un intervalo final debe indicar qué contiene: una raíz, una integral, un estado a tiempo fijado o solo el resultado de unas operaciones. Ampliarlo con una cota demostrada del resto convierte esa información en la afirmación pertinente. No se deduce existencia global de una solución diferencial solo de evaluar una fórmula sin fallos.