Métodos espectrales para ecuaciones diferenciales

En un dominio periódico de longitud 2π, una aproximación es . k indica frecuencia espacial, su amplitud y fase. Cada base ocupa todo el dominio: son funciones globales, a diferencia de piezas locales de una malla.

Para una función real se cumple . Se puede trabajar equivalentemente con senos y cosenos reales. El modo cero es constante en x y su coeficiente es la media espacial. Se fija el período antes de interpretar las frecuencias.

En Galerkin espectral se exige que el residuo sea ortogonal a todos los modos retenidos. Para una ecuación lineal de coeficientes constantes, la ortogonalidad de Fourier separa ecuaciones para los coeficientes.

En colocación se exige la ecuación en puntos y se usa el interpolante trigonométrico o polinómico que representan. La transformada discreta cambia entre valores y coeficientes de ese interpolante. No recupera automáticamente las frecuencias no resueltas de una función arbitraria.

Derivar exp(ikx) da ik exp(ikx). Derivar dos veces da −k² exp(ikx). En una suma finita podemos derivar término a término sin justificar un intercambio infinito. Para período L, los factores son 2πik/L y −(2πk/L)².

El signo negativo distingue difusión de crecimiento. Para −∂xx, el autovalor es positivo k². Si los coeficientes del operador dependen de x, el producto con ellos puede mezclar modos: no todo operador diferencial es diagonal en Fourier.

Para = en período 2π, cada coeficiente cumple ′=−k² y por tanto . Los modos k y −k tienen la misma tasa. El modo cero permanece constante: se conserva la media.

Esta evolución exacta de los modos retenidos aún omite la parte de la función inicial no representada por ellos. Un buen avance temporal no elimina ese error espacial.

Euler explícito para ′=−k² multiplica por 1−k²Δt.

Con K≥1, el conjunto retenido exige Δt≤2/K² en este modelo.

La igualdad en el extremo permite un factor −1, que no reproduce la disipación exacta. Euler implícito multiplica por 1/(1+k²Δt) y el avance exponencial por exp(−k²Δt). Estabilidad y precisión temporal siguen siendo propiedades distintas.

Fourier completo corresponde a periodicidad. En (0,π), sen(jx) satisface Dirichlet homogéneo en ambos extremos. Para condiciones no homogéneas se puede separar una función que las cumpla y aproximar el resto con una base adecuada.

Chebyshev y Legendre dan bases polinómicas para intervalos no periódicos. Chebyshev cumple (cosθ)=cos(nθ), pero derivar no equivale a multiplicarlo por in. Sus nodos, productos y matrices de derivación son específicos; los puntos se suelen concentrar cerca de los extremos.

Con regularidad de Sobolev finita se obtienen tasas algebraicas de truncamiento. La analiticidad en una región compleja apropiada puede dar decaimiento exponencial de coeficientes. No basta con denominar espectral a un método para obtener esa rapidez en cualquier dato.

Un salto o un empalme periódico incompatible produce oscilaciones de Gibbs: al añadir modos se estrecha la zona de sobreoscilación, pero su altura relativa no desaparece simplemente en el truncamiento habitual. Un filtro modifica la aproximación; no convierte los datos en una función suave.

En M puntos =2πj/M, .

Por tanto índices que difieren en un múltiplo de M tienen las mismas muestras. La ambigüedad es aliasing: la transformada no puede separar información que las muestras no distinguen.

Multiplicar dos expansiones hasta |k|≤K genera frecuencias hasta 2K. Para obtener los coeficientes del producto retenidos hasta K mediante muestreo, usar M>3K evita que una frecuencia del producto se repliegue a una retenida. Las reglas prácticas de 3/2 o 2/3 expresan versiones de esta separación con convenciones sobre índices y extremos.

Una solución con modos conocidos permite verificar signos, factores y tiempo de avance. En calor periódico, la media debe permanecer constante y la energía L² debe decrecer: para soluciones suficientemente regulares.

Se revisan truncamiento, muestreo, productos no lineales y redondeo además del integrador. La FFT hace eficiente un cambio de representación; no elimina errores de modelo ni sustituye las condiciones de convergencia.