Problemas inversos y control

El directo recibe x y calcula y. El inverso recibe y y busca x. Hadamard separa existencia, unicidad y dependencia continua respecto del dato, siempre con espacios y normas fijados.

Si A es una matriz invertible, la inversa es continua, aunque puede amplificar mucho los errores. En un Hilbert infinito puede haber una inversa definida en el rango pero no acotada. También puede haber datos sin solución exacta o varias causas que producen la misma medición.

En una descomposición singular Av_j=, el dato en dirección es σⱼ veces el coeficiente de x en dirección . Invertir divide por σⱼ. Si σⱼ=0, esa componente no se mide; si es pequeña, pequeñas perturbaciones se agrandan.

Las normas y unidades importan. En norma euclídea, para A invertible, el número de condición es y acota la amplificación relativa en el peor caso. No afirma que todo ruido alcance esa cota. En ℓ², D con (Dx)_j=/j es inyectivo, pero su inversa sobre el rango no es continua.

Con A lineal acotado entre Hilbert y α>0, minimizamos . La primera parte mide residual; la segunda penaliza reconstrucciones grandes.

La variación en dirección h exige .

Hay un único minimizador. Si satisface las ecuaciones, expandir cuadrados da . Así se comprueba el mínimo global.

En cada dirección singular, . Para un dato exacto =, el factor de señal retenida es σⱼ²/(σⱼ²+α). Es menor que uno cuando α>0 y σⱼ es finito: aparece sesgo.

La ganancia del ruido cumple , porque (σ−√α)²≥0. Entonces una perturbación de norma δ cambia la reconstrucción como máximo δ/(2√α). No es una promesa sobre el error total: todavía hay sesgo.

Si y=Ax† pertenece al rango, x† es la solución de norma mínima y ∥yδ−y∥≤δ, descomponemos −x† en sesgo con datos exactos y efecto del ruido. Con α→0 desaparece el primero; la cota anterior elimina el segundo si δ/√α→0.

Por eso α(δ)→0 y δ²/α(δ)→0 son condiciones suficientes de consistencia en este marco. No dan una tasa universal para cualquier x†. En un sistema compacto con valores singulares que tienden a cero, el sesgo converge para cada solución, pero no uniformemente sobre toda la bola unidad sin hipótesis adicionales.

Con una cota de ruido δ, un principio de discrepancia intenta dejar ∥A−yδ∥ alrededor de τδ, τ>1. Un residual mucho menor puede estar ajustando perturbaciones. La existencia de un α con la igualdad deseada requiere compatibilidad con el rango de residuos del problema.

La curva de parámetros, la validación o una información previa pueden orientar la elección. La penalización representa una preferencia: norma pequeña, suavidad, dispersión o no negatividad según el funcional. No añade una medición. Las garantías del caso α∥x∥² no se trasladan sin análisis a cualquier otra penalización.

Desde x₀=0, Landweber usa .

Con datos exactos en el rango, la iteración recupera la solución de norma mínima. Una elección más conservadora 0<ω≤1/∥A∥² evita oscilaciones de esos factores.

Con ruido, aumentar k puede aprender precisamente las componentes perturbadas. En una dirección con σ>0, el factor de reconstrucción desde cero es . La discrepancia puede definir la primera iteración cuyo residual baja de τδ. Se justifican ruido, paso y condiciones, no solo que el residual descienda.

En una dinámica y′=Ay+Bu, las mediciones tienen la forma Cy(t). El operador de observación lleva el estado inicial a toda la señal medida. Su núcleo contiene los estados invisibles; una desigualdad de observabilidad aporta además estabilidad cuantitativa de la reconstrucción.

Con controles podemos excitar el sistema antes de medir o elegir dónde actúan sensores. Para una función objetivo dependiente de una EDP, el adjunto permite obtener gradientes sin resolver una sensibilidad por cada parámetro. Hay que fijar el signo del adjunto y sus condiciones terminales según la identidad usada.

Una ecuación normal resuelta con precisión acredita el mínimo del objetivo escogido. Un residual pequeño acredita ajuste. Ninguno por sí solo acredita fidelidad física, ausencia de ruido o corrección de A. Reservar datos y comprobar unidades o conservación ayuda a detectar errores del modelo.

En problemas no lineales F(x)=y, puede haber varios mínimos, derivadas degeneradas o identificación solo local. Un paso de Gauss–Newton resuelve una aproximación lineal alrededor del punto actual. Las garantías lineales anteriores no bastan para asegurar una solución global única.