Leyes de conservación y soluciones entrópicas

En una dimensión, uₜ+∂ₓf(u)=0 significa que u es la cantidad por unidad de longitud y f(u) su flujo. Para una solución suave, integrar entre a y b da d/dt ∫ₐᵇu=f(u(a))−f(u(b)). Flujo de entrada menos flujo de salida: el signo sale de integrar una derivada espacial.

Si u tiene saltos, leemos la ecuación contra pruebas suaves compactas: . Se especifica una clase acotada y el dato inicial, por ejemplo con continuidad temporal en L¹ local. No se deriva puntualmente el salto; se derivan las pruebas.

Sobre una curva x(t) con x′=f′(u), la regla de la cadena da d/dt u(x(t),t)=0.

Si el denominador llega a cero, la descripción suave falla. No asignamos dos valores distintos al mismo lugar: buscamos una continuación débil admisible.

Si el estado izquierdo uᴸ y el derecho uᴿ están separados por x=st, la ecuación distribucional concentra en el frente el coeficiente [f]−s[u]. Debe ser cero: esta es la condición de Rankine–Hugoniot.

Si uᴿ≠uᴸ, .

Si los dos estados coinciden no hay salto y no dividimos por cero. Esta cuenta impone conservación, pero todavía puede aceptar una discontinuidad que no sea entrópica.

Una entropía matemática es una función convexa η con flujo q tal que q′=η′f′.

Con choques se exige ≤0 en distribuciones: puede disiparse esa cantidad convexa mientras se mantiene la conservación de u.

En un salto, la medida de entropía tiene coeficiente [q]−s[η].

Para Burgers, η=u²/2 y q=u³/3 dan .

Un salto decreciente tiene signo negativo; el creciente tiene signo positivo. En general se exige la familia de entropías pertinente, no una cuenta aislada.

Al integrar con una prueba no negativa φ, la forma con derivadas de φ y término inicial lleva signo ≥0. El cambio se debe a la integración por partes.

Para la ley escalar en toda R, f∈C² y dato u₀∈L∞, la teoría de Kruzhkov da una única solución entrópica acotada con dato en L¹ local. Si la diferencia de dos datos es L¹, su distancia L¹ no aumenta. La versión local controla regiones mediante conos y una velocidad máxima sup|f′| en el rango.

Para una solución suave, multiplicar por η′(u) y aplicar la regla de la cadena da ∂ₜη(u)+∂ₓq(u)=ε∂ₓₓη(u)−εη″(u)|uₓ|².

La convexidad hace η″≥0, por lo que el último término es no positivo. Con cotas y convergencia suficientes, el término divergencia se anula en pruebas cuando ε→0 y permanece la desigualdad. Para el valor absoluto se usan aproximaciones convexas suaves. Poner ε=0 formalmente no demuestra compacidad ni identifica el límite.

El problema de Riemann empieza con uᴸ a la izquierda y uᴿ a la derecha. Si f″>0 y uᴸ>uᴿ, las velocidades cumplen f′(uᴸ)>s>f′(uᴿ): las características llegan al frente. La solución entrópica es un choque.

Entre las dos velocidades se toma U=(f′)⁻¹(x/t), conectado a estados constantes fuera. Si el flujo no es convexo, esta clasificación simple puede fallar y aparecer ondas compuestas.

Para Burgers y uᴸ<uᴿ, la solución vale uᴸ si x<uᴸt, x/t si uᴸt≤x≤uᴿt y uᴿ si x>uᴿt, siempre con t>0.

En sus bordes los valores de las piezas coinciden, por lo que no aparece una medida de salto. Al tender t a cero, el ancho del abanico en un compacto se contrae y se recupera el dato de Riemann en L¹ local.

Si la solución y su flujo se comportan adecuadamente en infinito, el balance global conserva ∫u. La desigualdad entrópica puede disminuir ∫η(u) a la vez: son cantidades diferentes. Para estados constantes de Riemann, esas integrales pueden ser infinitas y se usan balances locales.

Entropía significa selección, unicidad y estabilidad; no elimina los choques. Un método numérico conservativo puede respetar la velocidad Rankine–Hugoniot y todavía necesitar admisibilidad para elegir la solución correcta. En una región con borde habría que fijar además condiciones de entrada y entropía de frontera; aquí tratamos Cauchy escalar en toda la recta.