Inferencia semiparamétrica

Un modelo estadístico especifica qué distribuciones P admitimos para los datos. El objetivo θ(P) puede ser una media real, mientras que P conserva infinitas posibilidades. A veces se llama no paramétrico al modelo y semiparamétrica a la tarea de inferir su parámetro finito: lo importante es declarar sus restricciones.

No elegir una familia normal no elimina hipótesis. Siguen importando el muestreo, los momentos y la identificación: distribuciones observadas iguales deben determinar el mismo objetivo. Una función auxiliar es parte del modelo que necesitamos estimar aunque no sea el número final que queremos informar.

Una representación asintóticamente lineal es . La función ψ asigna una contribución a cada observación. Se exige Eψ=0 y Eψ²<∞; para un límite normal no degenerado, Varψ>0.

El resto debe desaparecer a esa escala. Esta expansión no garantiza por sí sola convergencia de varianzas reales ni regularidad frente a todas las perturbaciones del modelo. Esas son condiciones adicionales cuando se estudia eficiencia.

La función está centrada y su varianza es Var X, si el segundo momento existe.

En el modelo no paramétrico usual de distribuciones con momentos adecuados, esta función representa la sensibilidad de la media y es su gradiente canónico. En un modelo restringido hay que revisar el espacio tangente. Una influencia eficiente no se decide por mirar solo un promedio de una muestra.

Consideramos submodelos regulares Pε que pasan por P. Su score s describe el cambio relativo de densidad y tiene media cero. Una influencia de un estimador regular debe cumplir para todas las direcciones permitidas.

Para la media, diferenciar su integral bajo condiciones apropiadas da E[Xs].

Centrar una función cualquiera no garantiza esa identidad. El siguiente modelo finito hace visible la cuenta; en un modelo general se revisa cada dirección regular.

En L²₀(P), el producto interior es ⟨f,g⟩=E(fg); trabajamos con funciones centradas de segundo momento finito. El espacio tangente T es el cierre de la envolvente lineal de los scores de submodelos regulares. Es cerrado por definición, de modo que existe proyección ortogonal.

Proyectar una influencia válida en T da el gradiente canónico. Una componente en T⊥ no cambia los productos con los scores, pero añade norma al cuadrado. Pitágoras explica la varianza mínima entre representantes; la cota para estimadores regulares y la construcción de uno que la alcance requieren el marco de regularidad correspondiente.

Con momentos suficientes, la influencia eficiente del modelo MAR es .

En los ejemplos usamos auxiliares conocidas para ver la cuenta; al estimarlas habrá que controlar su error.

Con K particiones de tamaño comparable y K fijo, entrenamos los auxiliares fuera de cada partición y evaluamos F en los datos que quedaron fuera del entrenamiento. Después promediamos las contribuciones. Esto facilita controlar el error de evaluación bajo independencia del ajuste y de su muestra de prueba.

Las contribuciones de todas las particiones no son literalmente iid, pues los entrenamientos se solapan. El teorema maneja esa dependencia. Se siguen necesitando consistencia de auxiliares, tasas, momentos y denominadores protegidos. Cross-fitting no identifica información que el diseño no observa.

La aproximación de varianza sin escalar es V/n y el error estándar √(V/n). La convergencia de varianzas reales requiere controles adicionales de momentos.

Con contribuciones estimadas por cross-fitting y condiciones de consistencia y momentos apropiadas, su varianza empírica estima V. Si V>0 y el límite normal es válido, se construyen intervalos con esa escala. Alcanzar la cota eficiente es una propiedad relativa al modelo y a estimadores regulares, no un premio automático para cualquier algoritmo predictivo.

Para el ejemplo MAR, usemos ajustes m̃,π̃ con π̃ protegida por una cota positiva. Condicionando en un ajuste entrenado fuera de la evaluación, el sesgo poblacional de F̃ es . Desaparece si cualquiera de los dos auxiliares es exactamente correcto. Esa es la doble robustez de la identidad, que por sí sola no prueba normalidad.

Cauchy–Schwarz acota el resto por una constante por ||π̃−π||₂||m̃−m||₂. Para hacerlo oₚ(n⁻¹ᐟ²) necesitamos un producto menor que esa escala. Con cross-fitting de K fijo, auxiliares L²-consistentes, propensiones acotadas inferiormente, varianza condicional del residuo acotada y ese producto despreciable, se obtiene la expansión de primer orden del modelo MAR.

Hay que comprobar las condiciones del ajuste, no solo su puntuación predictiva.