Control estocástico en modelos financieros

El estado puede ser riqueza, inventario o error de cobertura. El control es la decisión que modifica su evolución. Fijamos estado inicial, horizonte, dinámica, coste, información y restricciones. Minimizar error cuadrático y maximizar utilidad son objetivos diferentes.

Empezaremos con , donde Z tiene media cero y varianza uno, y u se elige antes de verlo.

Para acercarnos a a minimizamos .

No suponemos normalidad para este cálculo de segundo momento.

Una filtración recoge lo observado hasta cada instante. Un control progresivamente medible usa esa información y debe satisfacer las condiciones de integrabilidad y las restricciones del modelo. En tiempo discreto, la decisión de hoy no puede depender del ruido de mañana.

Saber que Z vale ±1 no permite saber cuál de esos valores ocurrirá. Permitir u=u(Z) antes de observar Z cambia el problema: se está dando información futura. Una mejora lograda así no resuelve el problema original.

Como u se fija antes del ruido, EX=μu y Var(X)=σ²u².

Al elevar al cuadrado, el término cruzado tiene esperanza cero porque E(X−EX)=0.

Por tanto .

Acertar la media puede dejar mucha dispersión. La cuadrática combina ambas partes del error.

Anular la primera da .

La convexidad estricta prueba que el mínimo es único entre todos los u reales.

Si μ=σ=0, X=0 siempre y cualquier u cuesta a²: no se divide por cero. Si se exige u en un intervalo cerrado, se restringe el vértice a ese intervalo. Cambiar las restricciones puede cambiar la decisión óptima.

Supongamos para k=0,1, con ruidos independientes de valores ±1 equiprobables. Pagamos u₀²+u₁²+x₂². El estado observado resume lo necesario y podemos continuar con una decisión óptima después de cada ruido.

Con valor terminal V₂(x)=x², Bellman escribe . El término futuro es esencial: no se minimiza u² aislado. La estrategia se construye hacia atrás y se aplica hacia delante.

Para una difusión y coste esperado de integral ℓ más terminal g, la ecuación HJB formal para una función de valor suave es , con V(T,x)=g(x).

La fórmula de Itô produce el término de segunda derivada porque la variación cuadrática de Browniano no es cero. Sustituir el ruido por su media borraría ese efecto. La ecuación requiere hipótesis; primero la usamos como candidata y después verificaremos un ejemplo.

En el último modelo tomamos controles progresivamente medibles con . La dinámica lineal y esta condición dan los momentos necesarios. Aplicar Itô a nuestra V y tomar esperanzas conduce a .

La derecha no es negativa. El control anula el integrando, tiene solución y es admisible en horizonte finito. Por eso alcanza el valor. En otros modelos hay que comprobar regularidad, existencia, crecimiento, integrabilidad y que el mínimo se alcance; una solución formal sola no basta.

Si se limita una posición, el mínimo de HJB se toma sobre ese conjunto; el control libre puede dejar de ser admisible. Con costes de intervención, solvencia o fronteras aparecen problemas distintos. Cuando no se observa todo el estado, puede ser necesaria su distribución condicional dada la información disponible.

Si V no es suave, las soluciones de viscosidad ofrecen otro marco; no se imponen derivadas clásicas inexistentes. Los ejemplos anteriores explican estructuras matemáticas y no convierten un modelo académico en una regla de inversión ni resuelven cualquier dinámica financiera.