Riesgo y optimización de carteras

Sean X₁,…,Xₙ rendimientos aleatorios con segundos momentos finitos y pesos fijos w.

El rendimiento combinado es .

En el presupuesto simple .

Prohibir posiciones negativas añade wᵢ≥0; sin esa restricción puede haber pesos mayores que uno y otros negativos.

No confundimos proporción de dinero con número de títulos. Aquí estudiamos rendimientos en un mismo período, pesos fijados antes y un modelo sin costes.

La media combinada es lineal: .

Centramos cada variable restando su media y expandimos el cuadrado de su suma ponderada. Cada término propio aporta wᵢ²Var(Xᵢ) y cada pareja aporta dos veces el producto de pesos por su covarianza. En notación matricial .

Σ es simétrica semidefinida positiva porque esa expresión es una varianza para cualquier w. La independencia implica covarianza cero, pero la recíproca es falsa. Para calcular esta varianza necesitamos segundos momentos, no una prueba de independencia.

Escribimos w para la primera proporción y 1−w para la segunda.

Con a=Var(X₁), b=Var(X₂), c=Cov(X₁,X₂), .

El signo de c influye junto al signo de los pesos.

Si a,b>0, la correlación es , no c.

Además a,b≥0 y c²≤ab son necesarios y suficientes para que la matriz simétrica de dos dimensiones sea semidefinida positiva.

Al expandir, .

Si D>0, la derivada se anula en y completar el cuadrado prueba mínimo único global.

Si D=0, las variables centradas coinciden casi seguramente y a=b=c. V es constante: no se utiliza la división por D.

Si c=0 y a+b>0, .

Con ambas varianzas positivas, es menor que cada una. Una variable con mayor varianza recibe menos proporción en este mínimo concreto.

Si una varianza es cero, concentrarse en ella ya produce varianza cero. Eso no exige una media positiva. La conclusión tampoco dice que cualquier mezcla o cualquier dependencia reduzca el riesgo.

Para 0≤w≤1 y D>0, el mínimo está en el vértice si cae dentro o en el extremo más próximo si cae fuera. Esto se deduce del cuadrado D(w−w*)². En dimensiones mayores, presupuesto y restricciones lineales con Σ semidefinida positiva dan un problema cuadrático convexo.

Si añadimos media mínima, también se restringe el intervalo. Antes de optimizar hay que comprobar que exista algún punto que cumpla todas las condiciones. Un objetivo de media inalcanzable no se arregla con un mínimo de varianza.

Una alternativa está dominada si otra admisible tiene media al menos tan alta y varianza no mayor, con alguna mejora estricta. Las no dominadas forman la frontera eficiente del conjunto considerado. Entre ellas no aparece una preferencia única sin un criterio adicional.

La varianza penaliza ambos lados de la media. Dos leyes pueden tener la misma media y varianza y distintas probabilidades de pérdidas extremas. No se deducen todas las preguntas de riesgo de solo esos dos momentos.

En aplicaciones, μ y Σ se estiman. Resolver con precisión una cuadrática no convierte esas entradas en verdades conocidas. Pesos libres muy grandes pueden amplificar cambios pequeños. Se estudia estabilidad frente a datos y restricciones, además de ajuste y evaluación.

Podemos verlo sin datos reales. Sean Z,Y independientes de varianza uno, X₁=Z y .

Para ε>0 pequeño, y .

Los pesos libres crecen cuando las dos variables se parecen mucho.