Equilibrios en juegos continuos

Para cada jugador i declaramos un conjunto de acciones Xᵢ y una utilidad . El subíndice −i significa todas las acciones ajenas. Aquí las acciones recorren intervalos, no una lista finita. Al buscar la mejor acción propia se mantienen fijas las de los demás.

Nuestro juego guía tiene x,y∈[0,4], y .

Cuanto más cerca esté cada jugador de su objetivo, mayor utilidad. Cero es el máximo posible de un cuadrado negativo.

Un perfil x* es Nash si para cada jugador y cada alternativa admisible zᵢ. Se cambia una sola componente en cada comparación.

No hace falta que los jugadores tengan la misma utilidad. Tampoco se exige que no exista una mejora coordinada. La definición mide incentivo individual con rivales fijos; no declara justicia ni bienestar colectivo.

La correspondencia contiene todas las mejores acciones. Es un conjunto; solo se trata como función si tiene un único elemento. Nash significa pertenecer simultáneamente a todas esas mejores respuestas.

Con acciones no vacías compactas y utilidad continua, cada máximo existe. Sin esas condiciones puede faltar. Una selección arbitraria de una respuesta entre varias no sustituye analizar el conjunto completo.

En un máximo interior diferenciable la derivada propia debe anularse. Si la función es cóncava en la acción propia, un punto estacionario es máximo global; con concavidad estricta la respuesta es única. En una frontera puede haber máximo sin derivada cero.

En el juego guía, cada utilidad es un cuadrado negativo de su propia acción: las segundas derivadas propias son −2. Los objetivos (1+y)/2 y (2+x)/3 quedan en [0,4] para rivales en ese intervalo, de modo que las respuestas son esas expresiones.

Una ecuación no reemplaza a la otra. Podemos sustituir y despejar, y al final volver a las utilidades para certificar máximos.

Iterar respuestas es un proceso adicional. Para nuestro mapa F(x,y)=((1+y)/2,(2+x)/3), la distancia máxima entre componentes se contrae por un factor no mayor que 1/2. Como lleva el cuadrado cerrado [0,4]² en sí mismo, aquí sí tenemos unicidad y convergencia de esa iteración simultánea.

Con un número finito de jugadores, conjuntos no vacíos compactos convexos en espacios euclídeos, utilidades continuas y cuasicóncavas en la acción propia, un teorema de punto fijo para correspondencias garantiza un Nash puro. La cuasiconcavidad significa que los conjuntos de acciones que superan un nivel de utilidad son convexos.

Las mejores respuestas son entonces no vacías, compactas, convexas y tienen la continuidad de correspondencias adecuada. Si son funciones continuas, se puede aplicar Brouwer al producto. Sin esas condiciones no se promete un equilibrio puro; permitir mezclas cambia el objeto.

Puede haber respuestas únicas para cada rival y varios puntos fijos conjuntos. También puede haber un único equilibrio y una iteración que oscila. Existencia, unicidad y convergencia son afirmaciones distintas.

Por otra parte, Nash no optimiza automáticamente una suma de utilidades. Los cambios coordinados consideran efectos que una desviación unilateral deja fijos. Para hablar de eficiencia hay que declarar el criterio agregado y el conjunto de comparaciones.

Para un perfil admisible definimos la ganancia de desviarse como . Todas son no negativas. Nash equivale a gᵢ=0 para todos; un ε-Nash cumple gᵢ≤ε.

Un residual de primer orden pequeño no certifica esa propiedad si hay mínimos o fronteras ignoradas. En el juego de cuadrados, las mejores respuestas dan utilidad cero y la ganancia exacta es el cuadrado de la distancia propia a su objetivo.