Valoración mediante medidas martingala

Trabajamos con dos estados posibles, ambos de probabilidad física positiva. Hoy una acción cuesta S₀>0; mañana cuesta uS₀ o dS₀, con u>d>0.

R es un factor bruto: una tasa del 5 % significa R=1,05.

Permitimos cantidades reales, préstamo y venta de posiciones, sin costes. Con Δ acciones y b unidades monetarias en la cuenta, el coste es ΔS₀+b y los pagos son ΔuS₀+bR y ΔdS₀+bR. Un b negativo representa deuda. Estas reglas forman parte del modelo.

Esta definición exige comparar todos los estados posibles. Si R≤d, comprar una acción con un préstamo de S₀ deja pagos S₀(u−R) y S₀(d−R): ninguno negativo y el primero positivo. Si R≥u, vender una acción y depositar S₀ produce el arbitraje inverso.

Las igualdades también se excluyen: un pago puede ser cero en un estado y positivo en otro. Bajo nuestras reglas y en este mercado de dos estados, veremos también por qué la condición es suficiente.

Buscamos pesos q y 1−q tales que el precio medio futuro bajo esos pesos sea RS₀: quS₀+(1−q)dS₀=RS₀.

Cancelar S₀ y despejar da .

Q es equivalente a la medida física porque ambas consideran posibles exactamente los dos estados. Bajo Q, el precio descontado tiene esperanza igual al precio actual; q no tiene por qué coincidir con la frecuencia física de subida.

Para un contrato (,), exigimos .

Restar elimina la cuenta: .

Después sustituimos para encontrar b.

Las columnas de pagos de acción y cuenta son independientes porque u≠d y R>0. Así cualquier par de pagos tiene réplica única: este modelo es completo. No basta con que cartera y contrato tengan el mismo promedio; deben coincidir en cada estado.

Tomamos esperanza Q de la identidad de réplica.

Como , resulta .

Dividir por R produce exactamente el coste inicial: .

Si el contrato costara más que su réplica, lo venderíamos y compraríamos la réplica. Si costara menos, haríamos lo contrario. La diferencia se puede depositar, dejando coste inicial cero y una ganancia futura positiva. Esto justifica el precio único bajo nuestras posibilidades de negociación.

Descontar usa la cuenta acumulada, no solo la tasa neta. En dos períodos de factor R, el denominador es R². El promedio intermedio se condiciona a la información del nodo y la decisión se toma antes del movimiento siguiente.

En nuestro árbol binomial de dos pasos, con los mismos factores en cada paso, Q tiene probabilidad condicional de subida 2/5. Los precios finales son 225; 112,5; 112,5; 56,25. Podemos calcular desde las hojas o usar los cuatro caminos y descontar dos veces.

Un proceso descontado es martingala bajo Q si . La filtración indica lo observado. El valor realizado puede subir o bajar; la igualdad se refiere al promedio dado el presente.

En un mercado finito sin fricciones, una estrategia autofinanciada y elegida antes de cada movimiento conserva esa propiedad bajo una medida martingala equivalente. Si parte de cero, no puede terminar con pagos no negativos y alguno positivo: su esperanza sería positiva, contradiciendo que debe seguir siendo cero.

En tiempo continuo hay condiciones adicionales.

Cambiamos de mercado: S₀=100, R=1 y precios finales 50,100,150, todos físicamente posibles. Una cartera solo tiene Δ y b, pero ahora debe satisfacer tres ecuaciones para replicar un contrato. Algunos vectores de pagos quedan fuera.

Las medidas martingala equivalentes son Q=(t,1−2t,t), con 0<t<1/2. Suman uno y dan media de la acción 100. Un pago que no se replique puede tener distintas esperanzas Q. El no arbitraje deja entonces precios compatibles, sin escoger uno por sí solo.