Introducción matemática a teorías de campos

Escribimos φ(t,x). Al fijar t obtenemos una fotografía espacial; al fijar x seguimos un punto en el tiempo. En un modelo continuo hay infinitas coordenadas espaciales. Un campo puede ser escalar, vectorial o una sección de un fibrado, según qué valor se asigne a cada punto.

El dominio, la regularidad y los datos iniciales y de frontera forman parte del modelo. Una misma ecuación local sobre una recta infinita, un intervalo con extremos fijos o un dominio periódico representa problemas diferentes.

La acción asigna un número a un campo. Probamos φ+εη, donde η es una perturbación suave de soporte compacto, o se anula apropiadamente en la frontera. La condición estacionaria es dS[φ+εη]/dε en ε=0 igual a cero para toda η admisible.

La primera variación contiene coeficientes de η y de sus derivadas. Integramos por partes para pasar las derivadas de η a los coeficientes. El control de la frontera permite usar el lema fundamental variacional y concluir una ecuación local.

Para un campo escalar, , sumando sobre las coordenadas. Con varias componentes hay una ecuación por campo. Podemos multiplicar toda la ecuación por menos uno sin cambiar sus soluciones.

En una dimensión espacial elegimos . Los coeficientes son −V′(φ), φₜ y −φₓ.

En varias dimensiones, para con m≥0, obtenemos . Δ suma las segundas derivadas espaciales.

El término de masa modifica las frecuencias; no convierte esta ecuación clásica en una teoría cuántica por sí solo. Para campo real podemos trabajar con cosenos y senos, aunque las exponenciales complejas simplifiquen los cálculos.

Para φ=eⁱ⁽ᵏ·ˣ⁻ᵚᵗ⁾, la segunda derivada temporal multiplica por −ω² y Δ multiplica por −|k|².

Sustituir en Klein–Gordon da .

En un dominio periódico los k permitidos también deben cumplir la frontera; no se eligen independientemente de ella.

La densidad hamiltoniana es no negativa en el modelo libre. Energía total significa integrar esta densidad cuando sea integrable.

En una dimensión, derivar E e integrar por partes da un término interior φₜ(φₜₜ−φₓₓ+m²φ), que se anula por la ecuación, y el borde [φₜφₓ]. Con frontera periódica o flujo neto nulo, E se conserva.

Una familia continua diferenciable de simetrías de la acción produce una corriente conservada sobre soluciones, bajo las hipótesis del teorema de Noether. Traslaciones temporales se relacionan con energía y espaciales con momento. Una simetría discreta no da automáticamente una corriente de ese mismo teorema.

La redundancia gauge es otra estructura importante. En el caso abeliano A→A+dχ deja F=dA inalterado porque d²χ=0, para campos suficientemente regulares. En teorías no abelianas la curvatura contiene un término de producto adicional; no se reduce toda la teoría a cambiar el nombre del campo escalar.

La variación produce ecuaciones clásicas. La cuantización añade un álgebra de observables no conmutativos y estados con probabilidades. En teoría cuántica de campos, los campos puntuales se tratan típicamente como distribuciones operatoriales: se integran contra funciones de prueba para formular objetos adecuados.

Los productos en un mismo punto pueden necesitar regularización y renormalización. Una expresión formal de integral de camino no demuestra por sí sola existencia de una medida rigurosa para toda interacción. Las construcciones dependen del modelo, dimensión y condiciones.

Para k≠0, la velocidad de fase es ω/k, mientras la velocidad de grupo es dω/dk=k/ω. Son conceptos distintos; la velocidad característica de la ecuación libre está fijada por su parte principal de ondas.

Las frecuencias de un modo no describen todos los datos de una solución. Al combinar modos se deben respetar realidad, frontera y condiciones iniciales. Esa secuencia mantiene conectadas acción, ecuación, solución propuesta y comprobación.