Operadores y mecánica cuántica

Un estado puro se representa por ψ de norma uno en un Hilbert complejo. En una base ortonormal, ψ=(a₁,…,aₙ) cumple la suma de ||² igual a uno. Los son amplitudes; sus módulos al cuadrado dan probabilidades para la medición asociada a esa base.

Multiplicar todas las amplitudes por una misma fase eⁱᶿ no cambia el estado físico puro. Cambiar la fase de una sola coordenada sí puede cambiarlo. Para calcular productos internos usamos conjugación en la primera entrada: .

En dimensión finita, A* es la conjugada traspuesta y A=A* caracteriza una matriz hermítica. Sus autovalores son reales y admite una base ortonormal de autovectores. En dimensión infinita, una fórmula diferencial no define por sí sola el operador: también se declara un dominio denso D(A).

Simétrico significa para u,v del dominio.

Las condiciones de frontera pueden cambiar el adjunto, el espectro y la evolución, aunque la expresión −i·d/dx parezca idéntica.

Para A autoadjunto, el teorema espectral asigna proyecciones a conjuntos borelianos de resultados reales.

.

En dimensión finita, para un autovalor a usamos su proyección : la probabilidad es .

Si varias direcciones tienen el mismo autovalor, pertenecen al mismo resultado medido y se suman sus probabilidades. Se proyecta sobre todo el autoespacio, no sobre un autovector arbitrariamente elegido dentro de él.

En dimensión finita, es la suma de resultados por sus probabilidades. Puede quedar entre autovalores sin ser un resultado posible. Para operadores no acotados, ψ∈D(A) es una condición suficiente para estas cuentas.

La varianza es . Para matrices también es ⟨A²⟩−⟨A⟩². En un autoestado vale cero: todas las mediciones del observable dan el mismo autovalor.

En posición, una función de onda ψ∈L² normalizada da . |ψ|² es una densidad, no la probabilidad de un punto. La suma de todos los intervalos se sustituye por una integral.

Una posición exacta ideal o una onda plana extendida por toda la recta no es un vector L² normalizado. Se usan objetos generalizados cuando corresponde. Autoadjunción no implica tener una lista discreta de autovectores normalizables que cubra todos los estados.

Con H autoadjunto e independiente del tiempo, se define por cálculo espectral y es un grupo unitario fuertemente continuo. Si el dato está en D(H), satisface . En matrices se puede trabajar directamente con sus autovalores.

Eso conserva la suma de probabilidades, no cada probabilidad de cada observable. Las probabilidades espectrales de H permanecen constantes; otro observable puede cambiar si no conmuta con la dinámica.

Para A y B y un estado en dominios que permitan los productos y momentos usados, centramos a=(A−⟨A⟩I)ψ y b=(B−⟨B⟩I)ψ. Cauchy–Schwarz y la parte imaginaria de ⟨a,b⟩ dan .

Es una relación de dispersiones del estado. No identifica automáticamente errores de instrumentos ni asigna al tiempo el mismo tipo de operador que a la posición.

En dimensión finita, ρ≥0 y trρ=1 describe un estado, con .

Una mezcla de preparaciones con pesos se escribe , sin sumar sus amplitudes como si fueran coherentes.

Para un subsistema se toma la traza parcial. Aunque el conjunto evolucione unitariamente, el subsistema puede tener un estado mixto y una dinámica que no sea unitaria por sí sola. Describir sistemas abiertos requiere operaciones y condiciones adicionales.