Un qubit no es una lista de probabilidades: se describe con amplitudes complejas. Primero aprenderemos a normalizarlas y medir. Después veremos cómo sus signos y fases permiten interferencia, por qué varios qubits se combinan con un tensor y qué información se pierde al observar solo una parte.
Si necesitas repasar:
1. Dos componentes complejas describen un qubit puro
y 
.Un estado puro es 
, con 
. Las componentes son amplitudes; pueden ser negativas o complejas.
Para normalizar un vector no nulo dividimos por 
.
El vector cero no se normaliza ni representa un estado puro.
Normalizar con una componente imaginaria
Vector (2,i).
Norma
√(|2|²+|i|²)=√5.Dividir
ψ=(2,i)/√5.Comprobar
Los módulos cuadrados suman 4/5+1/5=1.
La amplitud i/√5 tiene módulo cuadrado 1/5.
Su cuadrado algebraico −1/5 no es una probabilidad.
Un vector que no sirve
Vector (0,0).
Norma
Vale cero.
División
No se puede dividir por cero.
Estado
La condición de norma uno no se puede satisfacer escalándolo.
Se necesita un vector no nulo antes de normalizar.
La normalización no es sumar las amplitudes hasta que den uno.
2. Born convierte amplitudes en resultados de una medición concreta
En la base computacional, medir devuelve 0 con probabilidad |α|² y 1 con |β|². No entrega simultáneamente las dos amplitudes. En una medición proyectiva el estado condicionado al resultado es su proyección normalizada.
Las frecuencias se estiman repitiendo preparaciones equivalentes. Medir repetidamente el mismo sistema después de colapsarlo no repite la preparación inicial. Si cambiamos la base, debemos volver a calcular sus amplitudes o usar los proyectores correspondientes.
Medir el estado que acabamos de normalizar
ψ=(2,i)/√5.
Probabilidades
P(0)=4/5 y P(1)=1/5.Condicionar
Tras observar 1, el estado es |1⟩ salvo una fase global.
Volver a medir
Sin otra operación, la siguiente medición en esa base da 1 con certeza.
El segundo experimento sobre ese sistema ya parte de otro estado.
No vuelve a sortear 0 con probabilidad 4/5.
Frecuencia esperada no es un recuento obligado
Preparamos cien veces ese estado y medimos cada preparación.
Indicadores
Cada resultado 1 tiene probabilidad 1/5.
Esperanza
El número esperado de unos es 100/5=20.Azar
No tiene por qué salir exactamente veinte en una ejecución.
Una medición es clásica; la distribución se refiere a repeticiones.
Con preparaciones independientes, el recuento sigue una binomial.
3. La fase de todo el vector se cancela; una fase relativa puede observarse
Multiplicar ψ por 
no cambia el estado físico puro: cualquier amplitud de medición recibe ese mismo factor de módulo uno. Cambiar solo una componente puede alterar cómo se suman las amplitudes después.
Por ejemplo 
y 
dan las mismas probabilidades computacionales, pero no son múltiplos por una fase global. Una operación puede distinguirlos.
Una fase global compleja
Multiplicamos ψ=(2,i)/√5 por −i.
Vector
Resulta (−2i,1)/√5.
Módulos
Siguen siendo 4/5 y 1/5.
Cualquier base
El producto con cualquier vector de medición se multiplica por −i; el módulo cuadrado se conserva.
La fase global no cambia ninguna distribución de medición.
No se limita a esta base concreta.
Un signo relativo cambia otra medición
Estados (√3,1)/2 y (√3,−1)/2.
Base inicial
Ambos dan probabilidades 3/4 y 1/4.
Aplicar Hadamard
La primera amplitud pasa a (√3+1)/(2√2) o (√3−1)/(2√2).
Probabilidad de 0
Quedan (2+√3)/4 y (2−√3)/4, distintas.
Conocer solo probabilidades en una base no determina el estado.
Ambos estados estaban normalizados antes de aplicar la operación.
4. Una unitaria conserva norma y puede deshacerse
Una operación unitaria satisface 
, donde † es trasponer y conjugar. Entonces 
. En dimensión finita su inversa es U†.
.Mezcla amplitudes con signos; no elige un resultado de medición. Las operaciones sucesivas se multiplican en el orden en que actúan, de derecha a izquierda sobre el vector.
Multiplicar una matriz y un estado
ψ=(3,−1)/√10.
Primera componente
(3−1)/√20=2/√20.Segunda
(3+1)/√20=4/√20.Simplificar
Hψ=(1,2)/√5; las probabilidades son 1/5 y 4/5.
La norma sigue siendo uno.
Aplicar H de nuevo devuelve ψ, no necesariamente |0⟩.
Una matriz cualquiera no es una puerta unitaria
M=diag(1,2).
Probar
M|1⟩=(0,2).Norma
Su norma es 2, no 1.
Criterio
M†M=diag(1,4)≠I.
M no conserva todas las normas.
Normalizar después manualmente no convierte esa regla en la misma evolución unitaria.
5. Primero se suman amplitudes, después se toman módulos cuadrados
Dos contribuciones indistinguibles a una salida pueden reforzarse o cancelarse. El cuadrado del módulo de su suma incluye términos cruzados. Si se mide en medio para distinguir los caminos, cambia el experimento.
.Partiendo de |0⟩, el circuito H, luego Dφ y luego H da amplitudes 
. Por eso 
.
Una fase que cambia el resultado final
φ=2π/3.
Amplitudes
; la primera amplitud es 1/4+i√3/4.Módulo
P(0)=1/16+3/16=1/4.Otra salida
P(1)=3/4; ambas suman uno.
No se sumaron probabilidades de caminos antes de interferir.
Con φ=0 la salida sería |0⟩ con certeza.
Insertar una medición altera la cuenta
Medimos la base computacional justo después del primer H.
Medición intermedia
Deja |0⟩ o |1⟩ con probabilidad 1/2.
Fase
Dφ solo cambia una fase global de cada estado condicionado.
Último H
Cada rama da 0 y 1 con probabilidad 1/2; la mezcla final también.
Ahora P(0)=P(1)=1/2, para cualquier φ.
Una medición no se intercambia libremente con una operación coherente.
6. El tensor multiplica dimensiones y admite estados no separables
Dos qubits tienen base 
y dimensión cuatro. En un producto de estados (α,β)⊗(γ,δ), las amplitudes son (αγ,αδ,βγ,βδ). Para n qubits la dimensión es 2ⁿ.
Un estado puro que no se factoriza en estados de las partes es entrelazado. Para dos qubits, organizar amplitudes en una matriz 2×2 ayuda: un producto tiene rango uno. Un determinante no nulo demuestra que no es producto.
Multiplicar amplitudes de un producto
(2,i)/√5 y (1,1)/√2.
Tensor
Amplitudes (2,2,i,i)/√10 en el orden declarado.
Medición
Probabilidades 2/5,2/5,1/10,1/10.
Comprobar
Suman uno y cada probabilidad es producto de las probabilidades de las partes.
Este estado sí es producto.
Multiplicar dimensiones no significa sumar amplitudes de las partes.
Un estado con fase y entrelazamiento
.
Matriz
Amplitudes organizadas como diag(1,i)/√2.
Determinante
Vale i/2≠0: rango dos, así que no se factoriza.
Resultados
Solo 00 y 11, cada uno con probabilidad 1/2.
Las partes están entrelazadas aunque el estado total sea puro.
La correlación no permite elegir el resultado aleatorio del otro lado ni enviar por sí sola un mensaje.
7. La densidad distingue coherencia, mezcla y estado reducido
Un estado puro define 
. Más generalmente, una matriz de densidad es positiva y de traza uno. Para un proyector Π la probabilidad es 
. Una mezcla de estados usa una media de sus matrices, no una suma de amplitudes.
Para observar solo una parte se toma traza parcial. Un estado total puro puede tener partes mixtas. Perder acceso a un subsistema o a un entorno no equivale en general a una operación unitaria aislada sobre lo que queda.
Mismas probabilidades iniciales, distinta coherencia
ψ=(2,i)/√5 frente a una mezcla de |0⟩ y |1⟩ con pesos 4/5 y 1/5.
Matrices
; la mezcla es diag(4/5,1/5).Cambiar fase
Aplicamos S†=diag(1,−i): ψ pasa a (2,1)/√5, mientras la mezcla no cambia.
Luego H
El estado puro da P(0)=9/10; la mezcla da P(0)=1/2.
Las entradas fuera de la diagonal contienen coherencia que puede afectar mediciones posteriores.
No se distinguen ambas matrices midiendo solo la base computacional inicial.
Partes mixtas de un estado puro
Estado 
del ejemplo anterior.
Ignorar el segundo qubit
La traza parcial da
.Pureza
; para el estado total puro 
.Información
Cada parte sola da 0 o 1 con mitad de probabilidad; el conjunto conserva correlaciones.
La incertidumbre de una parte no obliga a que el total sea una mezcla clásica.
Una unitaria local sobre la parte ignorada conserva el estado reducido de A, por invariancia de la traza parcial.
8. La dimensión y la información que extraes son recursos distintos
Una medición computacional de n qubits devuelve una cadena de n bits, no la lista de 2ⁿ amplitudes. Preparar estados, realizar puertas, acceder a datos y extraer una respuesta tienen costes. No toda tarea obtiene ventaja solo por usar una superposición.
Los circuitos anteriores son ideales. Ruido, canales, corrección de errores y recursos de algoritmos requieren modelos adicionales. Incluso copiar un estado desconocido tiene restricciones diferentes de copiar un bit clásico.
Ocho amplitudes no son ocho números leídos a la vez
Tres qubits puros.
Dimensión
2³=8 amplitudes complejas normalizadas.Una lectura
La medición computacional devuelve una de las ocho cadenas: 000,…,111.
Estimar
Para estudiar su distribución se necesitan preparaciones y mediciones repetidas; las fases exigen otras mediciones.
Tamaño del vector no equivale a salida clásica de una ejecución.
No se promete leer todas las respuestas de una búsqueda en un solo intento.
Por qué una copia unitaria universal no funciona
Supongamos una puerta con registro vacío |0⟩ que copia exactamente |0⟩ y |1⟩.
Reglas
Debe enviar |00⟩ a |00⟩ y |10⟩ a |11⟩.
Linealidad
Al entrar |+⟩|0⟩, su salida sería (|00⟩+|11⟩)/√2.
Copia deseada
|+⟩|+⟩ tiene cuatro amplitudes 1/2 y es otra salida: no pueden coincidir.
Esa misma puerta no puede copiar todos los estados desconocidos.
El argumento usa un registro vacío común y linealidad; no prohíbe preparar de nuevo un estado conocido.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Normalizar antes de medir
El vector sin normalizar es (1,2). Calcula probabilidades al medir su normalización.
Vector
(1,2), no está normalizado.
Norma
√(1²+2²)=√5.Estado
(1/√5,2/√5).
Born para cero
P(0)=|1/√5|²=1/5.Born para uno
P(1)=|2/√5|²=4/5.Comprobar
Son no negativas y suman uno.
P(0)=1/5 y P(1)=4/5.
Ambas son no negativas y suman uno.
EJEMPLO RESUELTO 2
Interferencia con Hadamard
H=(1/√2)[[1,1],[1,−1]]. Aplica H a |0⟩ y después vuelve a aplicar H.
Entrada
|0⟩=(1,0).Primer H
Da (1,1)/√2=|+⟩.Sin medir
Conservamos ambas amplitudes para la siguiente operación.
Segundo H
Primera amplitud (1+1)/2=1; segunda (1−1)/2=0.Resultado
H²|0⟩=|0⟩.Comprobar
Una medición intermedia habría cambiado este experimento.
H²|0⟩=|0⟩.
Aunque una medición entre las dos puertas daría resultados equiprobables, aquí no se ha medido en medio.
Los símbolos que hemos usado
- |ψ⟩
- Vector de estado puro, considerado salvo fase global.
- Amplitud
- Coeficiente complejo de un estado en una base.
- Regla de Born
- Probabilidad de un resultado como norma cuadrada de su proyección.
- U†
- Adjunto: conjugada traspuesta de la matriz U.
- Unitaria
- Operación U con U†U=UU†=I.
- Producto tensorial
- Construcción del espacio de estados de sistemas compuestos.
- Entrelazamiento
- Estado compuesto que no se escribe como producto de estados de sus partes, en el caso puro.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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