Investigación computacional reproducible

Explorar ejemplos puede sugerir una conjetura. Aproximar estima un valor con una precisión que hay que justificar. Certificar produce evidencia que un procedimiento separado puede comprobar para una afirmación concreta.

Una lista larga de casos favorables no prueba sola una afirmación infinita. Un certificado pequeño puede bastar para una afirmación finita, aunque encontrarlo haya exigido una búsqueda grande.

Los enteros de precisión arbitraria y los racionales permiten representar ciertas cantidades exactamente. Eso evita una tolerancia de coma flotante en una identidad racional. El algoritmo todavía puede implementar otra fórmula o recibir una entrada incorrecta.

Una medida escrita como 1,2 puede tener incertidumbre. Representar el decimal como 6/5 exactamente no demuestra que la magnitud física sea exactamente 6/5. Se distinguen valor escrito, cantidad medida y regla matemática.

La coma flotante usa un conjunto finito de números representables. Una operación puede redondearse y una resta de cantidades cercanas puede dejar expuestos errores previos. Cambiar una fórmula algebraicamente equivalente puede mejorar estabilidad.

El condicionamiento describe sensibilidad del problema a los datos; la estabilidad, cómo el método maneja errores. Más dígitos o dos programas que coinciden no son por sí solos una cota rigurosa. También se revisan desbordamiento, subdesbordamiento y operaciones fuera de dominio.

Un intervalo [a,b] representa todos los valores entre sus extremos. Las operaciones deben contener cualquier resultado de los valores permitidos. Para sumas [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]; para productos se toman mínimo y máximo de los cuatro productos de extremos.

Con extremos de coma flotante se necesita redondeo exterior o un control equivalente. Una librería de bolas puede acumular errores en un radio, pero hay que usar sus garantías y formatos correctamente. Dibujar un margen alrededor de un decimal no lo certifica.

Si el intervalo incluye negativos y positivos, no permite decidir signo. El punto medio no reemplaza a los extremos.

También podemos certificar un número irracional mediante desigualdades exactas. Para acotar √2 entre números positivos basta comprobar sus cuadrados a ambos lados de 2, porque el cuadrado es creciente en los no negativos.

Para una raíz aproximada x̃, el residual es p(x̃). Puede ser pequeño porque p está multiplicada por un factor pequeño, incluso lejos de su raíz. Para relacionarlo con el error necesitamos una cota que use propiedades del problema.

En una ecuación lineal p(x)=ε(x−r), con ε≠0, la identidad exacta es |x̃−r|=|p(x̃)|/|ε|. Para funciones generales intervienen otras condiciones; raíces múltiples o escalas pequeñas pueden dificultar la inferencia.

Factores se revisan multiplicando; candidatos a raíces se sustituyen y se relacionan con un conteo o una factorización completa. Volver a ejecutar el mismo algoritmo puede repetir el mismo error. La independencia útil aporta otra identidad o un verificador más sencillo.

Encontrar varias raíces no demuestra que estén todas. Tampoco observar convergencia al refinar una malla prueba por sí solo una cota. Hace falta un argumento que conecte la salida con la conclusión buscada.

Se guardan enunciado, datos, código, parámetros, precisión, tolerancias, versiones y procedimiento. Con aleatoriedad se registran generador, semilla y distribución del trabajo. Certificados y resultados deben enlazarse con esa configuración.

Una repetición confirma reproducibilidad de esa ejecución, no la validez del modelo ni una garantía estadística por sí sola. El informe distingue lo explorado, lo aproximado, lo certificado y lo que sigue pendiente de argumento.