Leer matemáticas de forma crítica no consiste en desconfiar de cada línea: consiste en saber exactamente qué promete cada afirmación. Aprenderemos a separar hipótesis, conclusión y cuantificadores, y a construir ejemplos que muestren dónde falla una versión demasiado amplia.
Si necesitas repasar:
1. Separa el dominio, las hipótesis y la conclusión
Reescribimos el resultado así: para objetos de una clase concreta, si se cumplen H₁,…,Hₙ, entonces ocurre C. Una función continua sobre un intervalo abierto y una sobre un compacto no tienen los mismos datos. Un ejemplo elegido tampoco es una afirmación para todos.
Antes de revisar cuentas identificamos definiciones y convenciones. Después podemos preguntar en qué paso se utiliza cada supuesto. No completamos mentalmente una hipótesis que el texto no declara.
Leer el teorema del valor extremo
Una función real continua sobre un compacto no vacío alcanza máximo y mínimo.
Objeto
Una función real con ese dominio.
Hipótesis
Continuidad, compacidad y dominio no vacío.
Conclusión
Existen puntos del dominio donde se alcanzan ambos extremos.
Alcanzar exige un punto, no solo una cota o un supremo.
Retirar una hipótesis crea otra afirmación que necesita revisión.
No confundir acotación y máximo
f(x)=x para x∈(0,1).
Cota
Todos sus valores son menores que 1.
Supremo
Se acercan a 1 tanto como queramos.
Alcanzar
Ningún punto del dominio tiene valor 1.
Tiene supremo uno, pero no máximo.
El punto 1 no pertenece al dominio declarado.
2. El orden de los cuantificadores fija quién puede depender de quién
En ∀x∃y, se fija x y después se puede elegir y según ese x. En ∃y∀x, se elige primero un único y que debe funcionar para todo x. La diferencia no es de estilo: son afirmaciones distintas.
En una definición de límite también se revisan dependencias. El entorno δ se puede elegir según ε y el punto fijado; no puede cambiar después para acomodarse a cada x que debía recorrer ese entorno.
Una elección que depende de x
Sobre ℝ: para todo x existe y con y>x.
Fijar
Tomamos un x real arbitrario.
Elegir
y=x+1.Comprobar
y−x=1>0.
La afirmación ∀x∃y es verdadera.
El valor de y cambia cuando cambia x.
El mismo y no sirve para todos
Sobre ℝ: existe y tal que para todo x, y>x.
Proponer
Sea y cualquier candidato real.
Responder
Elegimos x=y+1.Fallo
Entonces y<x, contradiciendo la condición pedida.
La afirmación ∃y∀x es falsa.
No se permite elegir otro y después de conocer ese x.
3. Una flecha lógica no se invierte sin demostrar la vuelta
H⇒C significa que H es suficiente para C y C es necesaria para H. No dice que C baste para H. La equivalencia H⇔C requiere demostrar ambas direcciones.
Por ejemplo, un extremo interior de una función derivable tiene derivada cero. Son esenciales interior y derivabilidad. No se concluye que cualquier punto con derivada cero sea extremo: hay que estudiar el comportamiento alrededor.
Derivada cero sin mínimo ni máximo
f(x)=x⁵ en a=0.
Hipótesis
f′(x)=5x⁴ y f′(0)=0.A la izquierda
Para t>0 pequeño, f(−t)=−t⁵<0=f(0).A la derecha
f(t)=t⁵>0: en todo entorno hay valores menores y mayores.
Cero es estacionario, pero no es extremo local.
El ejemplo cumple la hipótesis de la afirmación falsa que queríamos refutar.
Segunda derivada cero no descarta un mínimo
g(x)=x⁴ en a=0.
Derivadas
g′(0)=0 y g″(0)=0.Signo
g(x)≥0 para todo real x.Mínimo
g(0)=0: es un mínimo global estricto.
Un criterio de segunda derivada inconcluso no significa ausencia de extremo.
También x⁵ tiene segunda derivada cero en cero y otro comportamiento.
4. Un contraejemplo válido cumple las hipótesis y niega la conclusión
Para refutar «para todo objeto de esta clase, H implica C», buscamos un objeto de esa clase con H verdadera y C falsa. Hay que justificar ambos puntos. Un objeto fuera del dominio no refuta lo prometido.
Un único caso válido refuta una afirmación universal. Mil casos favorables no la demuestran si todavía quedan infinitos. Una gráfica ayuda a descubrir un candidato, pero el argumento debe indicar por qué viola la conclusión.
Un objeto fuera del alcance no sirve
Se afirma que el cuadrado de todo real es no negativo y se propone i²=−1.
Cuenta
i²=−1 sí es correcto en los complejos.Dominio
i no es un número real.
Alcance
El enunciado no prometía una desigualdad ordenada así para complejos.
No es un contraejemplo a la afirmación sobre ℝ.
La pertenencia al dominio es parte de la comprobación.
Un caso sí basta cuando está dentro
Se afirma que toda matriz de traza cero es la matriz cero.
Candidato
A=diag(2,−2).Hipótesis
trA=2−2=0.Conclusión falsa
A no es cero: su entrada (1,1) vale 2.
Una matriz refuta la afirmación universal.
No hace falta listar todas las matrices de traza cero.
5. Omitir un supuesto muestra el límite de la garantía, no invalida el teorema
Una función continua sin máximo en un dominio no compacto no refuta el teorema del valor extremo correcto. Muestra que continuidad sola no garantiza la conclusión en ese dominio.
Tampoco demuestra que fuera de un compacto sea imposible alcanzar máximo. Hay funciones que sí lo alcanzan. Distinguir una garantía suficiente de una caracterización completa evita sacar una conclusión demasiado fuerte del contraejemplo.
Retirar compacidad
f(x)=x sobre (0,1).
Continuidad
Es continua en ese intervalo.
Mejorar
Para cualquier x, y=(x+1)/2 cumple x<y<1 y f(y)>f(x).Fallo
No hay máximo, aunque se mantenga continuidad.
El supuesto retirado importa para la garantía general.
Una constante en (0,1) sí alcanza máximo: no se prueba una imposibilidad universal.
Retirar continuidad manteniendo el compacto
En [0,1], f(x)=x si x<1 y f(1)=0.
Dominio
[0,1] sí es compacto.
Discontinuidad
Al acercarnos a 1 por la izquierda, los valores tienden a 1, distinto de f(1)=0.
Sin máximo
Cualquier x<1 se mejora con (x+1)/2; el punto 1 tampoco maximiza.
Compacidad sin continuidad no basta para ese teorema.
Se ha aislado otro supuesto que la versión correcta sí exigía.
6. Los casos simples y frontera ayudan a encontrar el mecanismo
Probamos primero cero, extremos, objetos degenerados, polinomios pequeños o matrices diagonales. Así es más fácil verificar exactamente las condiciones y entender qué falla. La búsqueda es una ayuda; la prueba final debe declarar su alcance.
Una transformación algebraica también puede perder casos si exige dividir por algo que podría ser cero. Antes de efectuarla se separan esos casos o se mantiene una equivalencia válida.
Dividir elimina una solución
Resolver x²=x sobre ℝ.
Paso peligroso
Dividir por x da x=1, pero solo es válido si x≠0.Separar
Con x=0 la ecuación original también se cumple.Resolver bien
x(x−1)=0, así que x=0 o x=1.
Una cuenta puede producir una solución correcta y aun perder otra.
Se vuelve al enunciado antes de declarar todas las soluciones.
Un extremo en la frontera no necesita derivada cero
f(x)=x en [0,1].
Extremos
El mínimo está en 0 y el máximo en 1.
Derivada
f′=1 en todos los puntos interiores.Hipótesis
Fermat hablaba de extremos interiores derivables.
El ejemplo no refuta Fermat: sus extremos son frontera.
La palabra interior no se puede omitir del enunciado usado.
7. Localiza la justificación de cada intercambio o paso delicado
Intercambiar límite e integral, extraer una subsucesión convergente o dividir necesita hipótesis. Las referencias externas también traen condiciones que deben cumplirse aquí. Una prueba incompleta puede corresponder a un resultado verdadero: no se identifica automáticamente un hueco con una falsedad.
Veamos un intercambio que falla sin control adicional.
Cada función es integrable y su área es uno, pero para cada x fijo termina valiendo cero.
Comprobar el límite punto a punto
Funciones fₙ declaradas.
En cero
fₙ(0)=0 por definición.En x>0
Para n>1/x, x queda fuera de (0,1/n), así que fₙ(x)=0.Límite
Para todo x∈[0,1], fₙ(x)→0.
La elección de n puede depender del punto x fijado.
No se ha demostrado una convergencia uniforme.
Comparar las dos operaciones
Usamos el mismo conjunto de funciones.
Integrar primero
∫₀¹fₙ=n·(1/n)=1 para todo n.Limitar primero
La función límite es cero; su integral es cero.
Diferencia
lim∫fₙ=1, mientras ∫lim fₙ=0.
No se puede justificar el intercambio solo con convergencia punto a punto.
Cada altura crece mientras el soporte se estrecha; un teorema de intercambio exigiría hipótesis adicionales.
8. Comunica exactamente qué se probó y qué solo se exploró
Si el dominio es finito y un método correcto recorre todos los casos, una comprobación exhaustiva puede establecer la afirmación en ese dominio. Probar una lista finita de un dominio infinito no cubre automáticamente lo restante.
Al presentar una objeción guardamos el enunciado, los supuestos satisfechos y la conclusión violada. Si solo encontramos un hueco, se comunica como hueco pendiente de justificar. Esta precisión permite corregir, reforzar o delimitar un resultado.
Mil aciertos no cubren todos los enteros
Definimos g(n)=0 si 1≤n≤1000 y g(n)=1 en otro caso, para n entero positivo.
Pruebas
Los primeros mil valores cumplen g(n)=0.Siguiente
g(1001)=1.Alcance
La afirmación «g(n)=0 para todos los positivos» es falsa.
Una búsqueda finita favorable necesita un argumento adicional para universalizar.
La función está completamente definida; no depende de un fallo de calculadora.
Una revisión puede reparar un argumento
Un texto divide x²=x por x y concluye que su única solución es 1.
Lo correcto
1 sí satisface la ecuación.
El fallo
Se perdió el caso x=0.Reparación
Se añade ese caso y se demuestra que la factorización solo permite 0 y 1.
La crítica concreta produce una solución completa y revisable.
No se descartan todas las cuentas correctas por un paso que necesitaba separar casos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Derivada cero sin extremo
Refuta: «Si f′(a)=0, entonces f tiene un mínimo local en a».
Afirmación
Se quiere refutar que f′(a)=0 implique mínimo local.
Candidato
f(x)=x³ y a=0, sobre ℝ.Hipótesis
f′(x)=3x² y f′(0)=0.Valores cercanos
Para t>0, f(−t)=−t³<0=f(0).Sin mínimo
Hay valores menores en cualquier entorno de cero.
Comprobar
También hay valores mayores a la derecha; el candidato cumple la hipótesis y viola la conclusión.
x³ en cero es un contraejemplo.
Cumple la hipótesis y viola la conclusión, que es exactamente lo necesario.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una hipótesis que no podemos omitir
El teorema del valor extremo exige continuidad en un compacto. Da una función continua en (0,1) sin máximo.
Candidato
f(x)=x en (0,1).Continuidad
Es una función continua en ese dominio.
Punto arbitrario
Tomamos cualquier x∈(0,1).Mejor punto
y=(x+1)/2 pertenece a (0,1) y es mayor que x.Sin máximo
f(y)>f(x), así que ningún x maximiza.Alcance
El dominio no es compacto: no se refuta el teorema correcto, sino la versión que omite esa hipótesis.
f(x)=x en (0,1).
El dominio no es compacto; el ejemplo no refuta el teorema correcto, sino la versión sin esa hipótesis.
Los símbolos que hemos usado
- Hipótesis H
- Condiciones bajo las que se afirma un resultado.
- Conclusión C
- Propiedad que se deduce si las hipótesis se cumplen.
- Contraejemplo
- Objeto que cumple las condiciones de una afirmación y viola lo que esta asegura.
- Necesaria / suficiente
- Condición exigida por una propiedad / condición que garantiza una propiedad.
- Cuantificador
- Expresa para todos, existe u otra dependencia lógica.
- Lema
- Resultado auxiliar empleado para establecer otro.
- Dependencia de prueba
- Hipótesis o resultado del que se utiliza una consecuencia en el argumento.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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