Predicados, cuantificadores y negación

Sin una asignación o una cuantificación, no es una única afirmación cerrada. Si aparece P(x,y), habrá que indicar ambas entradas.

El dominio dice qué entradas se permiten.

Una fórmula también requiere operaciones definidas: con 1/x declaramos x≠0 o elegimos un dominio que lo garantice. No tratamos una división por cero como una proposición numérica normal.

Para probarlo elegimos x arbitrario del dominio y no le añadimos una característica favorable que el enunciado no diera. En un dominio infinito, unas cuantas comprobaciones no sustituyen ese argumento.

∃x∈D P(x) pide al menos un testigo, no necesariamente uno solo. Construimos un valor, comprobamos que esté en D y que cumpla cada condición. Para refutar un universal basta un contraejemplo; para refutar una existencia hay que descartar todos sus candidatos.

∃!x P(x) reúne dos tareas: existe algún x que cumple P y cualesquiera dos candidatos que cumplen P coinciden. Encontrar un ejemplo solo resuelve la primera tarea.

Podemos escribirlo como existe x con P(x) y, para todo y, si P(y) entonces y=x, manteniendo ambos en el dominio. La comparación se hace entre todos los candidatos, no solo entre los que decidimos probar.

En ∀x∈ℝ (x²+y≥0), el cuantificador liga x dentro del paréntesis. y queda libre: la frase aún depende de qué valor tenga. Los paréntesis marcan hasta dónde llega cada cuantificador o negación.

Renombrar una variable ligada no cambia la afirmación si elegimos un nombre que no capture una variable libre. La letra es un marcador del recorrido; las dependencias y el dominio son parte del significado que debemos conservar.

Un real no positivo no está obligado por esa frase restringida: su antecedente no se cumple. Esa es la tarea de la implicación.

Existe un real positivo con P requiere ∃x∈ℝ (x>0∧P(x)): el mismo testigo debe ser positivo y cumplir P. Una implicación en lugar de esa conjunción podría aceptar un candidato no positivo sin encontrar el objeto solicitado.

No todos significa que hay al menos un contraejemplo, no que fallen todos.

Al atravesar una negación, cada ∀ se convierte en ∃ y cada ∃ en ∀. Conservamos el dominio y el orden de las variables. La negación llega hasta la propiedad final, que también debe cambiar de verdad.

Para una conjunción basta que falle una parte: ¬(P∧Q) equivale a ¬P∨¬Q. Para que falle una disyunción deben fallar ambas.

Una implicación P⇒Q solo falla cuando P ocurre y Q no: su negación es P∧¬Q. No se niega cambiando únicamente la conclusión y dejando otra implicación. El caso que refuta la frase debe cumplir exactamente sus hipótesis.

∀x∃y P(x,y) permite elegir y después de conocer x. ∃y∀x P(x,y) exige elegir un único y que sirva para todos los x. Esa segunda exigencia no se obtiene intercambiando símbolos sin prueba.

Dos universales piden la propiedad en todas las parejas, así que su orden puede intercambiarse. Dos existenciales piden alguna pareja y también pueden intercambiarse. La diferencia importante aparece al mezclar tipos: qué elecciones pueden depender de cuáles.

Si D=∅, el universal restringido ∀x∈D P(x) es verdadero: no existe un x de D que lo refute.

Esto mantiene las dos reglas de negación que acabamos de construir.

Una implicación con antecedente falso también es verdadera. Esa verdad no aporta un ejemplo de su conclusión. Por eso un universal restringido no garantiza que el grupo de entrada contenga objetos.

Leemos la frase de izquierda a derecha: qué valor es arbitrario, cuál construimos y qué condiciones debe cumplir. Después volvemos al lenguaje corriente. Al negar una cadena trabajamos capa a capa, sin reordenarla ni cambiar dominios.

Una construcción para todos debe servir incluso en los casos que una primera prueba numérica no mostró. Revisar negativos, cero y fronteras puede encontrar un error; corregirlo exige una razón general, no otra lista más larga de muestras.