Lógica proposicional y equivalencias

«El número 12 es par» afirma algo. Podemos decidir si esa afirmación es verdadera o falsa: es una proposición. Que una frase sea falsa no impide que sea una proposición.

Una pregunta pide información y una orden pide una acción. Ninguna de las dos afirma por sí misma un hecho al que asignemos verdadero o falso. Trabajaremos en lógica clásica: cada proposición tiene uno de esos dos valores, aunque todavía no sepamos cuál.

El contexto debe estar fijado. «Esta ficha es azul» necesita que sepamos qué ficha estamos señalando. También hay expresiones que dejan una variable libre; antes de asignarles un valor hay que decir a qué se refiere esa variable.

Abreviamos verdadero con V y falso con F. Damos nombres cortos a las afirmaciones: p puede significar «la ficha es azul» y q, «la ficha es redonda». Durante un mismo ejercicio, esos nombres conservan su significado.

Una asignación indica qué valor toma cada letra. Escribir p=V no quiere decir que la letra sea un número: dice que la afirmación representada por p es verdadera en el caso que estudiamos.

Cuando construimos una tabla formal, consideramos todas las asignaciones posibles. Si unas afirmaciones concretas están relacionadas, puede que su interpretación no realice todas las filas; las reglas de los conectores siguen definidas para cada fila.

La negación de p se escribe ¬p y se lee «no p» o «no es cierto que p». Si p es verdadera, ¬p es falsa. Si p es falsa, ¬p es verdadera. La negación actúa sobre una afirmación; por eso es un conector unario.

Negar una condición debe incluir todos los casos que la hacen falsa. Para un número real x, negar x>5 da x≤5: también hay que incluir el 5.

Dos negaciones seguidas recuperan el valor original. Si primero cambiamos V por F y después F por V, volvemos a V; empezando por F ocurre lo mismo. Escribimos ¬¬p≡p. El símbolo ≡ significa que las dos fórmulas tienen el mismo valor en todos los casos; más adelante aprenderemos a comprobar esa equivalencia con una tabla.

Conservamos p: «la ficha es azul» y q: «la ficha es redonda». La afirmación «la ficha es azul y redonda» exige ambas características. Se escribe p∧q; el símbolo ∧ significa «y».

La conjunción solo es verdadera cuando sus dos partes son verdaderas. Si falla cualquiera, la afirmación completa es falsa. Revisamos las partes antes de decidir el valor del conjunto.

p∨q se lee «p o q». En lógica proposicional, esta «o» es inclusiva: basta que una parte sea verdadera y también permite que lo sean ambas. Solo es falsa cuando ambas partes son falsas.

En lenguaje cotidiano algunas elecciones usan una «o» exclusiva, que pide una opción pero no las dos. Debemos distinguir ese significado de ∨. Si queremos excluir el caso en que ocurren ambas, añadiremos expresamente esa condición.

La regla exige que cuando p sea verdadera, q también lo sea. Falla precisamente con p verdadera y q falsa.

Si p es falsa, no aparece ese incumplimiento: la implicación material se considera verdadera tanto si q es verdadera como si es falsa. Eso no afirma una causa ni que p tenga que ocurrir.

Conviene separar una implicación para un caso concreto y la afirmación de que esa implicación se cumple para todos los casos de un conjunto. Una fila puede evaluar la fórmula; demostrar una regla general exige cubrir todos los casos pertinentes.

p⇔q se lee «p si y solo si q».

El bicondicional es verdadero cuando las dos partes tienen el mismo valor: VV o FF. Es falso cuando una es verdadera y la otra falsa. Que una fila del bicondicional sea verdadera no demuestra que p y q sean equivalentes en todas las filas.

Cada letra distinta puede recibir dos valores. Para p hay dos casos: V y F. Para p y q hay dos elecciones para la primera y dos para la segunda: 2·2=4 asignaciones.

Usaremos el orden VV, VF, FV, FF. En p escribimos V,V,F,F; en q alternamos V,F,V,F. Así cada pareja aparece una vez. La fila de cabeceras no cuenta como una asignación.

Con n letras distintas hay 2ⁿ asignaciones. Repetir una letra no aumenta n: todas sus apariciones reciben el mismo valor dentro de una fila.

En ¬(p∨q), negamos la disyunción completa. En ¬p∨q, solo negamos p y después hacemos la disyunción con q. Son estructuras distintas, aunque usen las mismas letras y símbolos.

Para empezar, escribiremos los paréntesis necesarios y calcularemos las partes de dentro hacia fuera. Una columna intermedia guarda el valor de una subfórmula, como p∨q, para reutilizarlo sin mezclarlo con el de una letra.

Antes de calcular, identificamos las letras y las subfórmulas. Después escribimos todas las asignaciones. Cada columna nueva combina valores de columnas ya calculadas, en la misma fila.

Separamos el cálculo de cada columna y la comparación final. Así podremos localizar si un error vino de una negación, de elegir columnas incorrectas o de aplicar mal el conector.

Escribimos A≡B cuando las fórmulas A y B tienen el mismo valor en todas las asignaciones de sus letras. A y B son aquí nombres de fórmulas completas, no nuevas letras con valores independientes.

Para demostrar equivalencia mediante tabla, comparamos las columnas completas usando el mismo orden de filas. Para refutarla basta encontrar una asignación donde difieran.

El símbolo ≡ expresa esa relación entre fórmulas. El conector ⇔, en cambio, forma otra fórmula que evaluamos fila a fila. A≡B significa precisamente que A⇔B resulta verdadera en todas las filas.

«No se cumplen p y q a la vez» permite que falle p, que falle q o que fallen ambas. Es ¬(p∧q), y equivale a ¬p∨¬q.

«No se cumple p o q» significa que no se cumple ninguna: deben fallar las dos. Es ¬(p∨q), y equivale a ¬p∧¬q. Estas son las dos leyes de De Morgan.

No quitamos los paréntesis dejando todo igual. Cambiamos ∧ por ∨, o ∨ por ∧, y negamos cada parte. Las equivalencias se justifican por sus valores, no por la forma del dibujo.

Su inversa niega las dos sin intercambiarlas: ¬p⇒¬q.

La contraposición es equivalente a la original. La recíproca y la inversa son equivalentes entre sí, pero en general no equivalen a la original. La negación de una implicación será otra operación diferente, que veremos después.

La implicación p⇒q falla únicamente cuando p es verdadera y q falsa. Por tanto su negación es p∧¬q. Conservamos el antecedente y negamos la conclusión, unidos mediante «y».

Al negarla, De Morgan da ¬¬p∧¬q, y la doble negación recupera p∧¬q.

Si p y q son desigualdades sobre un número, primero escribimos esa estructura lógica y después resolvemos las dos condiciones numéricas simultáneas.

Una tautología es una fórmula verdadera en todas las asignaciones. Una contradicción es falsa en todas. Una contingencia tiene al menos una fila verdadera y al menos una falsa.

Estas palabras describen la columna completa, no un único caso. Una proposición que resulta verdadera al mirar un objeto concreto no se convierte por eso en una tautología formal.

Un argumento parte de unas afirmaciones llamadas premisas y propone una conclusión. Es válido si no existe una asignación donde todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

Una conclusión verdadera por casualidad no demuestra que el argumento sea válido. Tampoco una premisa falsa refuta por sí sola la validez de una forma de razonamiento: buscamos el caso específico «todas las premisas V, conclusión F».

La tabla es un método finito para revisar la forma de un argumento proposicional. Cuando utilizamos hechos matemáticos adicionales, debemos indicarlos; no los introducimos como si vinieran dados por las letras.