Un morfismo transporta puntos en una dirección y funciones en la contraria. Para estudiarlo no basta dibujar una aplicación: hacen falta sus mapas de funciones locales. Usaremos el mapa al cuadrado para calcular puntos, fibras y bases de módulos, y así separar propiedades que a primera vista pueden parecer iguales.
Si necesitas repasar:
1. Las funciones se sustituyen; los puntos se transportan por preimagen de ideales
Un homomorfismo unitario φ: A→B induce f: Spec B→Spec A mediante q↦φ⁻¹(q). La preimagen es propia porque uno no puede llegar a un ideal primo propio. Si ab está en ella, φ(a)φ(b)∈q y la primalidad coloca una de las imágenes en q.
El punto se identifica por las funciones que se anulan en él, de modo que al sustituir funciones se contraen esas relaciones hacia A. No se usa una imagen directa arbitraria de ideales como si siempre fuera primo.
Calcular una contracción con sustitución
φ: Q[t]→Q[x], t↦x², q=(x−3).
Imagen de una función
f(t) se transforma en f(x²).
Evaluar
Pertenecer a (x−3) equivale a que f(x²) se anule en x=3, es decir f(9)=0.Ideal
Las funciones de Q[t] que se anulan en nueve forman (t−9). Ese es el punto imagen.
Geométricamente tres se envía a nueve.
La flecha de anillos iba de Q[t] a Q[x], y la geométrica al revés.
Un punto con otro cuerpo residual también se transporta
La misma φ y q=(x²−2) en Q[x].
Primo
x²−2 es irreducible sobre Q y el cociente es Q(√2), un cuerpo.
Sustituir
En ese cociente x²=2, así que f(x²)=f(2).Contracción
Se obtiene (t−2). El punto sobre la fibra tiene grado residual dos, aunque su imagen tenga residuo Q.
Transportar puntos no exige que todos tengan coordenadas racionales.
La irracionalidad de √2 prueba que el polinomio cuadrático no tiene raíz racional.
2. La continuidad viene acompañada de mapas sobre secciones
Se comprueba f⁻¹(D(a))=D(φ(a)): un primo q no contiene φ(a) si y solo si su contracción no contiene a. En esos abiertos se obtiene A_a→B_φ(a), que respeta las restricciones por la propiedad universal de la localización.
En general un morfismo consta de una aplicación continua f: X→Y y un mapa O_Y→f_*O_X que induce homomorfismos locales en tallos. Los puntos por sí solos no determinan cómo se transforman secciones, especialmente si hay nilpotentes.
Una inversa se transporta solo al abierto donde existe
Mapa al cuadrado, abierto D(t) del destino.
Preimagen
f⁻¹(D(t))=D(x²)=D(x).Secciones
El mapa Q[t, t⁻¹]→Q[x, x⁻¹] envía t a x² y t⁻¹ a x⁻².Verificar
La relación tt⁻¹=1 llega a x²x⁻²=1.En el punto x=0 esas expresiones no se usan.
El mapa de abiertos y el de funciones concuerdan.
No se pretende definir x⁻² en toda la recta afín.
Dos acciones infinitesimales pueden tener el mismo mapa continuo
A=k[ε]/(ε²), mapas A→A con ε↦ε o ε↦0.
Puntos
El único primo es (ε). La contracción vuelve a ser (ε) en ambos casos.
Continuidad
Las dos aplicaciones del espacio de un punto son la misma.
Funciones
La primera conserva ε no nulo y la segunda lo anula. Son morfismos de esquemas diferentes.
El mapa de haces añade información que la función de puntos no muestra.
Ambos homomorfismos fijan k y respetan ε²=0.
3. Un homomorfismo local debe respetar el maximal, además de las unidades
Como toda unidad se envía a unidad, equivale a α⁻¹(n)=m y también a reflejar unidades. No todo mapa entre anillos que son locales cumple esa condición.
Un mapa de dos anillos locales puede no ser local
Z_(3)→Q por inclusión.
Maximales
En el origen es 3Z_(3); en Q es cero.
Elemento de prueba
Tres pertenece al maximal original, pero su imagen es el racional tres, no cero.
Unidades
La imagen de tres es unidad en Q aunque tres no lo sea en Z_(3). El mapa no es local.
Ser anillos locales no convierte cualquier homomorfismo entre ellos en local.
La condición se revisa sobre el mapa, no solo sobre los objetos.
La evaluación correcta sí induce un mapa local
Q[t]_(t−a)→Q, evaluar en un racional a.
Denominadores
Toda fracción permitida tiene denominador g con g(a)≠0, así que se puede evaluar.
Maximal
Las fracciones con numerador anulado en a se envían a cero.
Contracción
La preimagen del maximal cero de Q es exactamente (t−a)Q[t]_(t−a).
Este mapa respeta las funciones cercanas y el valor del punto.
Una función con valor no nulo en a es unidad en el anillo local.
4. Local en puntos, en el origen del morfismo o en el destino son condiciones diferentes
Una propiedad de morfismos puede comprobarse recubriendo el esquema origen, el destino o usando parejas de cartas afines compatibles. Cada afirmación de localidad necesita su criterio; poder restringir una fórmula no hace local cualquier propiedad global.
Localmente de tipo finito significa que, cerca de cada punto, hay cartas donde el anillo del origen es un álgebra de tipo finito sobre el del destino. No significa que el anillo de toda carta sea un anillo local: localmente afín y anillo local son nociones distintas.
Una carta afín no tiene por qué tener un solo maximal
U=Spec Q[x].
Maximales
(x) y (x−1) son dos ideales maximales distintos.
Carta
U es un esquema afín válido y puede ser una carta alrededor de cualquiera de sus puntos.
Tallo
Al estudiar el punto (x) se pasa a Q[x]_(x), que sí tiene un único maximal. No se reemplaza ese tallo por Q[x] entero.
La palabra local requiere indicar qué construcción se está haciendo.
La carta contiene más información que el germen en un punto.
Una condición alrededor de cada punto puede fallar globalmente
X es una unión disjunta infinita de copias de Spec k, con mapa a Spec k.
Cada componente
Es un abierto y su mapa es de tipo finito; allí el anillo es simplemente k.
Recubrimiento
Las infinitas componentes cubren X y ninguna subfamilia finita lo cubre.
Global
El mapa es localmente de tipo finito, pero no cuasicompacto y por tanto no de tipo finito.
Una hipótesis global de cuasicompacidad no se obtiene revisando un punto cada vez.
La infinitud del recubrimiento es la obstrucción concreta.
5. Finito como módulo es más fuerte que de tipo finito como álgebra
A→B es de tipo finito si B se genera con finitos elementos como A-álgebra. Es finito si B se genera como A-módulo. La segunda condición implica la primera e integralidad.
Un morfismo de tipo finito es localmente de tipo finito y cuasicompacto. Un morfismo finito exige que sobre cada afín del destino la preimagen sea afín y su anillo sea finito como módulo sobre el anillo del destino. Tener finitas fibras de puntos no sustituye esa condición.
Una sola variable da finita generación de álgebra y módulo infinito
Q→Q[x].
Álgebra
Basta el generador x, porque se permiten todos sus productos y sumas con coeficientes racionales.
Módulo
Una lista finita de polinomios tiene grados acotados. Sus combinaciones racionales no producen una potencia de grado mayor.
Conclusión
Es de tipo finito como álgebra y no finito como módulo.
El tipo de coeficientes permitidos en la generación cambia la afirmación.
Las potencias 1, x, x²,… son linealmente independientes sobre Q.
Fibras pequeñas no garantizan un morfismo finito
Inmersión abierta Spec k[t, t⁻¹]→Spec k[t].
Fibras
Es un isomorfismo sobre D(t) y tiene fibra vacía fuera; cada fibra tiene a lo sumo un punto.
No integral
Si 1/t satisficiera una ecuación mónica sobre k[t], multiplicar por tⁿ daría 1 más un múltiplo de t igual a cero.
Reducir módulo t contradice 1≠0.No finito
Una extensión finita como módulo sería integral. Así esta localización no es un morfismo finito, aunque tenga fibras finitas.
La finitud se comprueba en funciones, además de en puntos.
La localización sí es de tipo finito sobre k[t]: basta adjuntar el generador t⁻¹.
6. El mapa al cuadrado es plano porque su anillo es libre de rango dos
La planitud de f en x pide que O_X, x sea plano sobre O_Y, f(x), conservando exactitud al tensorizar. No es sinónimo de sobreyectividad, fibras reducidas ni un número constante de puntos.
Para k[t]→k[x], t↦x², cada polinomio se escribe de forma única a(x²)+x b(x²), separando exponentes pares e impares. Por tanto k[x] es libre sobre k[t] con base 1, x. Un módulo libre es plano, y además esta base finita prueba que el morfismo es finito.
Separar pares e impares da coordenadas de la base
f(x)=3+2x+5x²+7x³+x⁴.
Parte par
3+5x²+x⁴=a(x²), con a(t)=3+5t+t².Parte impar
2x+7x³=x b(x²), con b(t)=2+7t.Unicidad
Los exponentes pares e impares son distintos, de modo que una suma a(x²)+x b(x²)=0 obliga a a=b=0.
La base 1, x se ha construido y comprobado, no solo contado.
El argumento vale en cualquier característica.
La planitud permite una fibra doble
La fibra sobre t=0.
Imponer valor
Se toma k[x]/(x²).
Tamaño algebraico
Tiene base 1, x como espacio vectorial de dimensión dos, pero un único punto y un nilpotente no nulo.
Comparar
La fibra sobre t=1, en característica distinta de dos, tiene anillo k×k y dos puntos. El rango dos permanece, aunque cambien los puntos.
Plano no significa que todas las fibras sean reducidas.
La separación de x²−1 usa que uno y menos uno sean distintos.
7. La fibra se calcula cambiando la base al cuerpo residual del punto
Para f: Spec B→Spec A y p∈Spec A, la fibra es 
. Primero se permite evaluar las funciones de la base en su cuerpo residual; las relaciones de B se conservan con esos coeficientes.
En un punto racional t=c del mapa al cuadrado, queda k[x]/(x²−c). El número de puntos depende de la factorización en ese cuerpo. La dimensión del álgebra y el número de puntos son medidas distintas.
Una fibra racional puede tener un punto con cuerpo residual mayor
Sobre Q, c=2.
Anillo
Q[x]/(x²−2).
Irreducibilidad
√2 no es racional, de modo que el polinomio cuadrático es irreducible.
Espectro
El cociente es Q(√2), un cuerpo de dimensión dos sobre Q. Su espectro tiene un punto, con ese cuerpo residual.
Un punto de grado dos no se cuenta como dos puntos racionales.
Tras extender a un cuerpo donde x²−2 se escinda, la descripción de la fibra cambia.
La factorización separable produce dos puntos
Sobre Q, c=1.
Factores
x²−1=(x−1)(x+1), con ideales comaximales porque dos es invertible.
Cociente
El teorema chino del resto da Q[x]/(x²−1)≅Q×Q.
Puntos
Hay dos, con residuos Q. Cada componente tiene dimensión uno y el álgebra completa dimensión dos.
Las dos fibras anteriores tienen el mismo rango y distinta lista de puntos.
La comparación no usa una raíz cuadrada elegida dentro de Q cuando no existe.
8. La lisura pide más que planitud y revisa también fibras geométricas
Una caracterización de lisura usa presentación finita local, planitud y fibras geométricamente regulares. La palabra geométricamente exige revisar las extensiones de cuerpos apropiadas, no solo la fibra sobre su cuerpo inicial. Estos son criterios estructurales con hipótesis, no consecuencias de una figura.
El mapa al cuadrado tiene presentación k[t, x]/(x²−t). En característica distinta de dos, la derivada respecto de x es 2x y es invertible en D(x). El criterio jacobiano da lisura allí. En el origen la fibra doble no es regular, por lo que no es liso en ese punto.
Revisar el punto x=1 en característica cero
La relación es x²−t=0 sobre Q.
Derivada
La derivada parcial respecto de x es 2x.
Invertir localmente
En el punto x=1 su valor es dos y no se anula.Es unidad en el anillo local.
Criterio
La presentación cumple el criterio jacobiano de lisura en ese entorno. En esta dimensión relativa cero se obtiene un mapa étale allí.
El mismo mapa puede ser liso en un abierto y fallar en otro punto.
La conclusión étale usa también la presentación y la dimensión relativa cero.
Cambiar la característica puede invalidar esa comprobación
Sobre F₂, mirar la fibra t=1.
Derivada
2x es cero en característica dos, así que el argumento anterior ya no sirve.
Fibra
x²−1=(x−1)² y el cociente es un punto doble no reducido.Fallo
Esta fibra no es regular en su punto. El mapa, aunque sigue siendo finito y plano, no es liso allí.
La base y la característica son parte de la hipótesis.
No se deduce un criterio global solo de que una derivada escrita parezca la misma.
9. Las inmersiones abiertas y cerradas llevan acciones concretas sobre funciones
A→A/I induce una inmersión cerrada Spec(A/I)→Spec A con imagen V(I). Se conservan los primos que contienen I y se toman las funciones módulo todas las relaciones de I, no solo de su radical.
A→A_f induce una inmersión abierta con imagen D(f), cuyo haz es el restringido. En ambos casos se ha especificado el mapa de anillos que produce la inclusión geométrica.
La misma imagen cerrada puede llevar distinta estructura
En Spec k[x], comparar los cocientes por (x) y por (x²).
Puntos
Ambos tienen imagen el punto (x), porque los primos contienen x² si y solo si contienen x.
Funciones
El primero da k y el segundo k[x]/(x²).
Diferencia
La clase de x es cero en uno y nilpotente no nulo en el otro. Las inmersiones cerradas no llevan la misma estructura.
La imagen topológica no reemplaza el ideal de definición.
Se necesita conservar la potencia de la relación.
El abierto D(x) conserva el genérico y retira el origen
Spec k[x, x⁻¹]→Spec k[x].
Origen
El primo (x) contiene x y queda fuera de D(x).
Genérico
El primo cero no contiene x y permanece.
Funciones
La nueva sección x⁻¹ es regular en ese abierto. La inclusión está acompañada de la localización.
Recortar un abierto no es imponer que x sea cero, sino permitir su inversa.
Un cociente por (x) habría producido la operación cerrada opuesta.
10. Una comprobación completa separa mapa, fibras y criterio de cada propiedad
Se empieza escribiendo A→B y se invierte la dirección para los espectros. Se contraen los primos y se calculan mapas de tallos o fibras. Después se aplica el criterio de la propiedad concreta: finitud, planitud y lisura tienen obligaciones diferentes.
Las propiedades como no ramificado y étale incorporan condiciones de presentación y de comportamiento infinitesimal. No se sustituyen por un número de puntos o por una aplicación continua agradable. Los ejemplos permiten detectar varias inferencias falsas con cuentas pequeñas.
Reunir las conclusiones del cuadrado sobre Q
Q[t]→Q[x], t↦x².
Finito y plano
La base 1, x lo demuestra como módulo libre de rango dos.
Fibras
Sobre uno hay dos puntos; sobre cero hay un punto doble; sobre dos un punto de grado dos.
Lisura
Es liso y étale donde x≠0, y falla en el origen por la fibra doble.
Una sola familia ilustra por qué esas propiedades no se identifican.
Cada conclusión usa una comprobación distinta ya desarrollada.
Ver por qué una sección de la base y un punto no llevan la misma flecha
t+1 bajo el mapa al cuadrado y el punto x=−2.
Función
La sección t+1 se transforma en x²+1.
Punto
El punto −2 se envía a t=4.Compatibilidad
Evaluar la función transformada en −2 da cinco, igual a evaluar t+1 en cuatro.
El transporte de funciones y el de puntos son opuestos y compatibles.
No se envía t+1 a una función del destino por una imagen directa de puntos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Mapa al cuadrado
Sea φ:k[t]→k[x], t↦x². ¿Adónde va el punto (x−2)?
Flechas
φ: k[t]→k[x] induce Spec k[x]→Spec k[t].Punto origen
q=(x−2) corresponde a evaluar x en el elemento dos del cuerpo k.
Contraer
Se buscan los f(t) tales que f(x²) pertenezca a (x−2).
Evaluar
Esto equivale a f(4)=0.Ideal
Los polinomios anulados en cuatro forman (t−4).
Comprobar
El punto imagen es (t−4), consistente con x↦x², interpretando los enteros dentro de k.
El punto imagen es (t−4).
Geométricamente el mapa es x↦x².
EJEMPLO RESUELTO 2
Inclusión cerrada
Describe Spec(A/I)→Spec A.
Homomorfismo
Se usa la proyección A→A/I.Primos del cociente
Cada primo de A/I corresponde por preimagen a un primo p de A que contiene I.
Imagen
El conjunto de esos primos es V(I).
Topología
La correspondencia respeta cerrados y da la topología de subespacio de V(I).
Funciones
Las funciones se toman módulo I y sus localizaciones; se conserva el ideal completo.
Conclusión
Es una inmersión cerrada con imagen V(I), también cuando I contiene relaciones nilpotentes.
Es una inmersión cerrada con imagen V(I).
La correspondencia de primos respeta inclusiones.
Los símbolos que hemos usado
- φ:A→B
- Homomorfismo de anillos con identidad que se usa para construir un morfismo afín.
- Spec(φ)
- Mapa Spec B→Spec A, dado por q↦φ⁻¹(q).
- f♯
- Mapa de haces que lleva funciones del destino a funciones del origen.
- O_Y,y→O_X,x
- Homomorfismo local de tallos para x∈X e y=f(x).
- Morfismo local
- Homomorfismo de anillos locales que envía el maximal de partida al maximal de llegada.
- Tipo finito
- Una álgebra generada por finitos elementos; para morfismos globales se añade cuasicompacidad a la condición local.
- Plano
- Un módulo cuyo tensor preserva sucesiones exactas.
- X_y
- Fibra sobre y: X×_Y Spec κ(y), donde κ(y)=O_Y,y/m_y es el cuerpo residual del punto.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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