Elevar un complejo multiplica su ángulo. Por eso distintas direcciones pueden terminar en el mismo resultado después de elevarlas. Una raíz enésima es cualquier número que recupera ese resultado: buscaremos todos, no solo una dirección elegida.
Si necesitas repasar:
1. La ecuación zⁿ=w pide todas sus soluciones
Una raíz enésima de w es cualquier z que cumple zⁿ=w, con n entero positivo.
Para n≥2 puede haber varias direcciones que al multiplicar su giro lleguen al mismo punto.
La raíz cuadrada principal real √9 nombra 3.
En los complejos también hay que distinguir una selección de raíz del conjunto completo.
Un nombre de operación no reemplaza la ecuación
Resolver z²=9.
Comprobar 3
3²=9.Comprobar −3
(−3)²=9.Conjunto
{−3,3}; escribir solo √9 dejaría una fuera.
La pregunta de raíces busca todos los z.
Las dos direcciones son opuestas, con el mismo módulo tres.
Sin solución real puede haber soluciones complejas
Resolver z²=−9.
Unidad imaginaria
i²=−1.Probar
(3i)²=−9 y (−3i)²=−9.Conjunto
{3i,−3i}.
No hay raíz real, pero sí dos complejas.
Los dos puntos están en el eje imaginario.
2. El módulo de cada raíz es la raíz positiva del módulo dado
Si w≠0, escribimos w=ρcisθ y una raíz z=rcisα con r>0.
Los módulos exigen rⁿ=ρ y por tanto r=ρ^(1/n), real positivo.
Todas las raíces quedan a esa distancia del origen. Una raíz que sea real negativa no necesita módulo negativo: su dirección ya incluye la media vuelta. El caso w=0 se tratará aparte porque no tiene argumento.
Separar distancia y dirección
Para z³=8i, hallar primero el módulo.
Dato
|8i|=8.Ecuación radial
r³=8 con r>0.Resultado
r=2: todas las raíces están en la circunferencia de radio dos.
Aún falta saber sus ángulos.
Decir solo r=2 no identifica una raíz compleja.
Un resultado negativo tiene módulo positivo
Para z⁴=−81, hallar el radio.
Dato
|−81|=81.Raíz positiva
r⁴=81 da r=3.Dirección pendiente
El signo de −81 se codificará con un ángulo de 180°.
No se usa r=−3 como radio adicional.
El módulo es una distancia y la orientación se trata por separado.
3. Añadimos vueltas antes de dividir el ángulo
Para que cis(nα)=cisθ, necesitamos nα=θ+360°k, con k entero.
En radianes la vuelta completa es 2π y la fórmula es 
.
Esos ángulos están separados por 360°/n. Dividir solo θ entre n daría una raíz y omitiría las demás direcciones posibles.
Tres vueltas equivalentes producen tres regresos
Resolver z³=8i.
Dato polar
8i=8cis90° y r=2.Ángulos
(90°+360°k)/3 para k=0,1,2: 30°,150°,270°.Lista
2cis30°, 2cis150°, 2cis270°.
Los ángulos se calculan con el mismo sistema de unidades.
Al triplicar quedan 90°,450°,810°, la misma dirección final.
El caso unidad deja una lista muy clara
Resolver z³=1.
Módulo
r=1.Argumento
θ=0°; α=120°k.Raíces
cis0°, cis120°, cis240°.
No se obtiene solo z=1.
Los cubos tienen argumento cero más vueltas completas.
4. La lista tiene n valores distintos y cubre todas las posibilidades
Entre k=0 y n−1, dos índices distintos difieren en menos de n. Sus ángulos no pueden diferir en una vuelta entera, porque su diferencia es 360°(k−j)/n. Así no se repite ninguna raíz.
Cualquier solución debe tener el módulo ya calculado y cumplir nα=θ+360°k. Reducir ese entero k módulo n lo lleva a nuestra lista. Esto demuestra que no falta otra raíz; no dependemos solo del dibujo.
El siguiente índice repite el primero
Enumerar las raíces cuartas de −81.
Ángulos
(180°+360°k)/4: 45°,135°,225°,315°.
Siguiente
k=4 daría 405°, equivalente a 45°.Conclusión
Hay cuatro distintas, no cinco.
La repetición empieza después de completar n índices.
Multiplicar por cuatro cada ángulo produce 180° más vueltas.
Otro argumento del dato solo reordena
Usar 450° en vez de 90° para 8i.
Dato equivalente
450°=90°+360°.Dividir
Para k=0,1,2 salen 150°,270°,390°.Comparar
390° equivale a 30°: vuelve el mismo conjunto.
No se crean raíces diferentes eligiendo otra vuelta inicial.
Solo cambia cuál se escribe primero.
5. Las raíces forman un polígono regular centrado en el origen
Para n≥3, mismo radio y separación 360°/n producen un polígono regular. Para n=2 son dos extremos opuestos de un diámetro. Una dirección distinta del dato gira el conjunto y su módulo cambia el radio.
Desde una raíz z₀ de w, multiplicar por ω recorre las demás: z₀ωᵏ. Para n>1 su suma es cero, porque la suma geométrica de esas n potencias de ω es cero.
Un hexágono sale de dividir la vuelta
Describir las raíces sextas de 1.
Radio
Uno.
Paso
360°/6=60°.Vértices
Ángulos 0°,60°,120°,180°,240°,300°.
Los seis puntos están igualmente espaciados.
El índice seis repetiría el punto de 0°.
Pasar de una raíz a la siguiente es un giro fijo
En las raíces cúbicas de 8i, partir de 2cis30°.
Raíz de la unidad
ω=cis120°.Multiplicar
z₀ω=2cis150° y z₀ω²=2cis270°.Cerrar
z₀ω³=z₀, porque ω³=1.
El tamaño permanece y el giro avanza una separación.
No se suman 120 unidades al número complejo; se multiplica por el giro.
6. Las raíces reales son los puntos de la lista situados en el eje
Para w real positivo: si n es impar hay una raíz real positiva; si n es par hay dos reales opuestas. Para w real negativo: si n es impar hay una real negativa; si n es par no hay reales.
Para un dato w real, las no reales aparecen en parejas conjugadas: si zⁿ=w, entonces su conjugada también eleva a w. Esto no se exige para w no real, porque al conjugar cambia también el resultado a su conjugado.
Tres raíces complejas, solo una real
Para z³=27.
Radio
r=3.Ángulos
0°,120°,240°.
Eje real
Solo 0° está sobre el eje: raíz real 3.
Las otras dos son conjugadas entre sí.
No son números inexistentes por no ser reales.
Cambiar la paridad cambia las raíces reales
Comparar z³=−27 con z⁴=−81.
Cubo
La lista tiene 60°,180°,300° y radio 3: la raíz real es −3.
Cuarta potencia
La lista de radio 3 tiene 45°,135°,225°,315°.
Eje real
Ninguna de esas cuatro está en el eje: cero reales, cuatro complejas.
No hay que confundir cero raíces reales con cero raíces complejas.
Los puntos de 45° y 315° se conjugan, igual que los de 135° y 225°.
7. Cero es un único punto y una raíz principal es una elección
Hay un valor distinto, con multiplicidad n en el polinomio zⁿ. No se asigna un argumento al cero para inventar una lista de direcciones.
Podemos seleccionar una raíz usando Arg w en (−π,π] y dividiéndolo entre n. Esa elección puntual no es todo el conjunto y presenta un salto al cruzar el corte de argumentos. Para un real negativo y n impar puede diferir de la raíz impar real.
La multiplicidad no cuenta puntos diferentes
Resolver z⁵=0.
Módulo
|z|⁵=0.Valor
Solo |z|=0, luego z=0.Contar
Un valor distinto; cinco copias del factor z en el polinomio.
No se dibuja un pentágono de cinco ceros distintos.
Todos coincidirían en el origen, sin dirección definida.
La selección compleja y la raíz real no tienen por qué coincidir
Comparar elecciones para las raíces cúbicas de −27.
Raíz real
−3, porque (−3)³=−27.Selección por Arg
Con Arg(−27)=180°, dividir entre tres selecciona 3cis60°.
Lista completa
Incluye también 3cis180°=−3 y 3cis300°.
Se declara qué significado de raíz se está usando.
La selección de 60° también cubica a −27, pero no es el número real −3.
8. Volvemos a binómica y comprobamos cada potencia
Para cada ángulo α usamos z=r cosα+i r sinα. Los ángulos conocidos permiten resultados exactos. También podemos conservar forma polar si evita decimales innecesarios.
Comprobar por polar eleva el módulo y multiplica el ángulo.
La suma cero y el número de puntos son controles útiles, pero por sí solos no demuestran que los números propuestos satisfagan la ecuación.
Las raíces de 8i en componentes
Convertir la lista de ángulos 30°,150°,270°, radio 2.
Primeras dos
2cis30°=√3+i; 2cis150°=−√3+i.Tercera
2cis270°=−2i.Comprobar
Sus cubos son 8i; por ejemplo (−2i)³=−8i³=8i.
La lista es {√3+i,−√3+i,−2i}.
Sus componentes suman cero y sus módulos son dos.
Un control de simetría no basta
Proponer 1, 1 y −2 como raíces de z³=8i.
Suma
1+1−2=0: ese control pasa.Potencias
Sus cubos son 1,1,−8, ninguno 8i.
Decisión
La lista es falsa y además repite un valor.
Se verifica la ecuación, la distinción y la exhaustividad.
La simetría complementa esas comprobaciones; no las reemplaza.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Raíces cuartas
Halla las raíces cuartas de 16.
Dato
16=16cis0° y n=4.Módulo
r=16^(1/4)=2.Ángulos
(0°+360°k)/4=90°k, k=0,1,2,3.Lista polar
2cis0°,2cis90°,2cis180°,2cis270°.
Binómica
2,2i,−2,−2i.
Comprobar
Módulo a la cuarta 16 y giros múltiplos de una vuelta; las cuatro son distintas.
2,2i,−2,−2i.
Cada una elevada a la cuarta da 16.
EJEMPLO RESUELTO 2
Raíces cúbicas negativas
Describe las raíces cúbicas de −8.
Dato
−8=8cis180° y n=3.Módulo
r=8^(1/3)=2.Ángulos
(180°+360°k)/3: 60°,180°,300°.
Lista binómica
1+√3 i, −2, 1−√3 i.
Raíz real
Solo −2 está en el eje real.
Comprobar
Cada módulo al cubo da 8 y cada ángulo triplicado da 180° más vueltas completas.
Módulo 2 con argumentos 60°,180°,300°; 1+√3i,−2,1−√3i.
Al triplicar cada ángulo queda 180° más vueltas completas.
Los símbolos que hemos usado
- n
- Índice entero positivo de la raíz o exponente de la ecuación.
- w
- Número complejo dado cuyo valor se desea recuperar como potencia.
- ρ=|w|
- Módulo del número dado.
- θ
- Un argumento de w≠0.
- zₖ
- Raíz correspondiente al índice k.
- cis α
- Cos α+i sin α, con una única unidad angular en cada cálculo.
- ω
- Raíz de la unidad de ángulo 2π/n.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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