Esta vez dejamos fija la regla c y probamos muchos puntos iniciales. Unos escapan y otros quedan acotados. Dibujaremos primero el caso que podemos resolver por completo, elevar al cuadrado, para distinguir la región llena de su frontera.
Si necesitas repasar:
1. Ahora cambia el punto inicial, no el parámetro
Elegimos c una vez. Cada z₀ del plano tiene su propia órbita zₙ₊₁=zₙ²+c bajo la misma función. El plano que dibujamos es el de esos z₀.
Mandelbrot cambia c y empieza en cero; Julia fija c y cambia z₀. Una coordenada parecida puede representar preguntas distintas. Anota siempre qué se mantiene fijo.
La misma regla puede tener destinos distintos
c=−1, comparar z₀=0 y z₀=2.
Primero
Desde cero: 0→−1→0, acotada.Segundo
Desde dos: 2→3→8→63,… y termina superando el radio de escape.
Plano dinámico
Ambos puntos se estudian en un mismo dibujo de la regla z²−1.
Un parámetro fijo no obliga a todas sus órbitas a ser iguales.
El c no ha cambiado entre los dos cálculos.
Leer una coordenada en cada tipo de mapa
El punto real uno.
En Mandelbrot
Significa c=1 y arranque cero.En Julia para c=0
Significa arranque z₀=1 bajo la regla elevar al cuadrado.
Resultados
La primera órbita escapa; la segunda queda fija en uno.
La interpretación de los ejes es parte del problema.
No se traslada una clasificación de un mapa al otro sin cambiar la pregunta.
2. K contiene órbitas acotadas; J es su frontera
El Julia lleno 
reúne todos los z₀ con órbita acotada. Su frontera 
=∂ consiste en puntos cuyos entornos alcanzan tanto como su complemento.
Pertenecer a no implica estar en : puede haber regiones interiores de puntos atraídos a un ciclo. En el caso c=0 veremos que K₀ es el disco cerrado unidad y J₀ solo la circunferencia.
Un punto interior tiene margen alrededor
Para c=0, z₀=−1/2.
Módulo
Vale un medio, menor que uno.
Entorno
Una bola de radio menor que un medio alrededor del punto queda dentro del disco unidad.
Clasificar
Es interior de K₀; no está en su frontera.
La acotación no basta para decir Julia frontera.
La prueba completa del disco se obtiene con la fórmula de módulos del apartado cinco.
En la circunferencia no hay margen interior completo
Para c=0, un punto de módulo uno.
Hacia dentro
Puntos sobre el mismo radio con módulo ligeramente menor que uno están en K₀.
Hacia fuera
Con módulo ligeramente mayor que uno, escapan.
Frontera
Cualquier entorno contiene ambos tipos de puntos.
Está en J₀ y también en K₀.
K₀ es cerrado, así que incluye su frontera.
3. Un radio suficiente para una regla fija arbitraria
Como r>2, desde el primer cruce hay un factor de crecimiento fijo mayor que uno.
Este R es suficiente, no necesariamente mínimo. El radio dos de la órbita crítica en Mandelbrot no se aplica sin condiciones a cualquier z₀ y cualquier c.
Una exclusión inmediata
c=−3 y z₀=4.
Radio
R=max(2,3)=3.Cruce
|z₀|=4>3.Control
Los primeros valores son 4→13→166; la desigualdad garantiza el escape posterior.
El punto cuatro no pertenece a K de esta regla.
El radio incluye el tamaño del parámetro fijo.
Por qué radio dos no basta en este contexto
c=−3 y w=(1+√13)/2.
Módulo
w≈2,3028, estrictamente mayor que dos.Fijación
w²−3=w, por la ecuación cuadrática.Órbita
Se queda constante, así que pertenece a
.
Usar dos universalmente produciría una exclusión falsa.
El radio suficiente tres no lo excluye.
4. Un compacto completamente invariante
es la intersección de los cerrados que exigen |
ⁿ(z)|≤R para todos los índices, incluyendo n=0. Está acotado y es cerrado, por tanto compacto. No está vacío: la cuadrática w²−w+c=0 tiene raíces complejas que son puntos fijos.
Quitar el primer término de una órbita acotada o añadirlo no cambia su acotación: ⁻¹()=. Como el polinomio tiene preimágenes para todo valor, también ()=. Por continuidad y por ser una aplicación abierta no constante, la frontera comparte esa invariancia completa.
Las dos preimágenes pertenecen si pertenece la imagen
c=−1 y buscar preimágenes de cero.
Resolver
z²−1=0 da z=±1.Seguir
Ambas van a cero, que pertenece al ciclo 0↔−1.
Acotación
Añadir el primer ±1 no rompe la cota.
Las dos preimágenes están en .
Esto no decide por sí solo si son frontera o interior.
Cerrado significa conservar límites de puntos acotados
zⱼ∈ y zⱼ→z con c fijo.
Iteración fija
Por continuidad,ⁿ(zⱼ)→ⁿ(z) para cada n.Cota uniforme de escape
Todos los términos de las órbitas de zⱼ tienen módulo ≤R.
Pasar al límite
|ⁿ(z)|≤R para cada n: z pertenece a .
La cota R compartida permite demostrar que es cerrado.
Las cotas arbitrarias dependientes de j no bastarían para este argumento.
5. Elevar al cuadrado permite resolver todo el conjunto
y 
.Con módulo menor que uno las potencias tienden a cero; con módulo mayor que uno crecen sin cota; con módulo uno conservan ese módulo.
Los puntos interiores convergen a cero, pero esa convergencia no convierte su punto inicial en frontera.
Un inicio no real dentro del disco
z₀=(1+i)/2.
Módulo inicial
√2/2<1.Primeros pasos
(1+i)/2→i/2→−1/4→1/16.Todos los pasos
El módulo es (√2/2)^(2ⁿ) y tiende a cero.
Está dentro de K₀ y fuera de J₀.
Cambiar de dirección en el plano no impide que el módulo disminuya.
Un inicio exterior que toca radio dos antes de salir
z₀=1+i.
Módulo inicial
√2>1.Cuenta
1+i→2i→−4: en el primer paso el módulo es dos y en el siguiente cuatro.
Conclusión
Los módulos son (√2)^(2ⁿ), que divergen.
Está fuera de K₀.
La fórmula de potencias da la prueba completa, no solo la lista corta.
6. Módulo fijo no significa posición fija
Un punto de la circunferencia se escribe exp(iθ). Al cuadrar se duplica el ángulo módulo 2π. En fracciones de vuelta, multiplicamos por dos y descartamos vueltas enteras.
Puede haber periodos o una cola que llegue a un ciclo. No toda órbita acotada converge, y no toda órbita de la circunferencia es densa. La fórmula angular permite estudiar cada caso.
Una órbita de periodo cuatro
Ángulo inicial una quinta parte de vuelta.
Duplicar
Los numeradores módulo cinco son 1→2→4→3→1.Periodo exacto
No aparece el uno antes del cuarto paso.
Módulo
Siempre permanece uno; cambia la posición, no la distancia al origen.
El punto exp(2πi/5) tiene periodo cuatro.
Las flechas del dibujo indican imágenes discretas, no todo el segmento entre ellas.
Una cola antes de quedar fijo
z₀=−i.
Primer cuadrado
(−i)²=−1.Segundo
(−1)²=1.Cola
Uno se mantiene fijo. El inicio no vuelve a −i.
Es preperiódica, no periódica desde el comienzo.
Sigue estando en J₀ porque su módulo es uno.
7. El multiplicador de una vuelta distingue atracción y repulsión
Para un ciclo de periodo p, μ=(ᵖ)′ es el producto de 2z en los p puntos.
Los ciclos atractores tienen cuencas abiertas dentro de . Los puntos periódicos repulsores están en y son densos en él: es un teorema de dinámica compleja, no una conclusión de dibujar unas cuantas órbitas.
Dos puntos fijos con papeles distintos
c=0: comparar cero y uno.
Cero
Es fijo y su multiplicador es cero: superatractor, en el interior del disco.
Uno
Es fijo y su multiplicador es dos: repulsor, en la frontera.
Entornos
Cerca de cero los módulos disminuyen; cerca de uno una perturbación exterior crece.
Dos órbitas constantes pueden tener estabilidad opuesta.
Estar fijo no implica atraer.
El ciclo angular anterior es repulsor
Periodo cuatro para exp(2πi/5), con c=0.
Producto
Cada factor 2z tiene módulo dos.
Una vuelta
|μ|=2⁴=16>1.Frontera
Es un ciclo repulsor de J₀, aunque sus propios cuatro puntos tengan órbita acotada.
Repeler puntos próximos no significa que el propio ciclo escape.
En este caso μ=16 porque el producto angular aporta una potencia z¹⁵=1.
8. La órbita crítica decide la conectividad global
Para esta familia cuadrática solo hay un crítico finito: cero. El teorema de conectividad dice que y son conectados si su órbita está acotada; si escapa, = es un conjunto de tipo Cantor, compacto, perfecto y totalmente desconectado.
El teorema usa herramientas globales de dinámica compleja. No afirma que todo Julia conectado sea una circunferencia ni que todos sus puntos sigan la misma órbita.
Un Julia conectado que es un segmento
c=−2.
Dentro del segmento
Escribimos z=2cosθ.Entonces z²−2=2cos(2θ), por lo que [−2,2] queda invariante.
Fuera
Resolver w+w⁻¹=z permite elegir |w|>1 si z∉[−2,2].Si ambas raíces tuvieran módulo uno, z sería real entre −2 y dos.
Iterar
La identidad da fⁿ(z)=w^(2ⁿ)+w^(−2ⁿ); su módulo es al menos |w|^(2ⁿ)−|w|^(−2ⁿ), que diverge.Conjunto completo
=[−2,2], que tiene interior plano vacío y es su propia frontera .
Un Julia conectado puede ser un segmento.
La órbita crítica 0→−2→2 también confirma el caso conectado del teorema.
Tipo Cantor no significa vacío
c=−3.
Crítico
Cero pasa a menos tres y escapa.
Teorema
= es de tipo Cantor.Puntos que quedan
Las raíces de w²−w−3=0 son puntos fijos y no escapan.
Hay un conjunto no vacío totalmente desconectado.
Estar fuera de M no elimina todos los puntos acotados del plano dinámico.
9. Una aproximación por escape y otra por preimágenes
Una malla de z₀ se itera con c fijo y se descartan quienes superan R. Sobrevivir N pasos solo deja candidatos a ; para distinguir hay que entender su frontera, no pintar toda la zona llena con el mismo nombre.
Otra técnica recorre las dos preimágenes ±√(w−c). Una rama o un punto inicial mal escogidos pueden sesgar el dibujo. La invariancia por sí sola no garantiza que cualquier semilla recorra todo Julia.
Una semilla que sí recorre ángulos nuevos
c=0, empezar la búsqueda inversa en w=1.
Primeras raíces
Las preimágenes son uno y menos uno.
Nivel siguiente
Aparecen las cuatro raíces cuartas de la unidad; después, las raíces de orden 2ⁿ.
Límite angular
Se reparten con separación de vuelta 1/2ⁿ, acercándose a toda la circunferencia.
La semilla frontera y ambas ramas generan aproximaciones densas de J₀.
Empezar en cero solo daría cero en todos los niveles: no dibujaría J₀.
Un superviviente finito que está fuera del disco
c=0, prueba de N pasos con radio dos.
Condición final
Para módulo inicial r>1, sobrevivir N pasos significa r^(2ⁿ)≤2, con n=N.
Frontera provisional
Escape posterior
Ese punto toca dos en el paso N y llega a cuatro en N+1; estaba fuera de K₀ desde el comienzo.
Las aproximaciones exteriores conservan una corona que desaparece solo en el límite.
Aumentar N mejora la aproximación, pero no hace exacta la supervivencia finita.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un punto interior para c=0
Con f(z)=z², empieza en z₀=1/2. Describe la órbita.
Regla fija
c=0, así que cada paso eleva al cuadrado el valor anterior.
Primeros términos
1/2→1/4→1/16→1/256.Fórmula general
Acotación y límite
Todos los módulos son menores que uno y tienden a cero: pertenece a K₀.
Interior
Una bola de radio menor que un medio alrededor de 1/2 queda dentro del disco unidad.
Frontera
Por tanto no pertenece a J₀, que es la circunferencia, no todo el disco.
1/2 pertenece a K₀, pero no a J₀.
Una bola de radio menor que1/2 alrededor de1/2 queda dentro del disco unidad, certificando que es un punto interior.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un punto de frontera
Con c=0, empieza en z₀=i.
Regla
Mantenemos c=0 y comenzamos en i.Primeros pasos
i²=−1 y (−1)²=1.Cola
Uno se queda fijo: la órbita i→−1→1→1… es preperiódica.Julia lleno
Todos los módulos valen uno, así que la órbita está acotada y el punto pertenece a K₀.
Posición
El punto inicial i tiene módulo uno y está en la circunferencia unidad.
Frontera
Pertenece también a J₀: todos sus entornos tienen puntos de módulo menor y mayor que uno.
i pertenece a J₀ y a K₀.
La pertenencia a Julia se deduce de su posición en la frontera, además de la acotación; no de la acotación sola.
Los símbolos que hemos usado
- Polinomio z²+c, con c fijo durante la dinámica.
- Composición de la función consigo misma n veces, no potencia algebraica.
- Julia lleno: puntos iniciales con órbita acotada.
- Julia: frontera del conjunto lleno.
- R
- Radio suficiente de escape, aquí max(2,|c|).
- Cuenca de atracción
- Puntos cuyas órbitas se acercan al ciclo atractor.
- μ
- Multiplicador: derivada de una vuelta completa del ciclo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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