Elegiremos un número c y repetiremos la regla «elevar al cuadrado y sumar c», empezando siempre en cero. Algunas elecciones quedan acotadas; otras se disparan. El dibujo de Mandelbrot organiza esas elecciones de reglas, no los pasos de una sola sucesión.
Si necesitas repasar:
1. Un complejo puede ser posición o parámetro
a+bi se representa por el punto (a,b). Su módulo √(a²+b²) es la distancia al origen.
En 
(z)=z²+c, c fija la regla y z cambia durante una ejecución. En el dibujo de Mandelbrot cada posición representa un c distinto. Un dibujo de Julia, en cambio, fija c y compara distintos puntos iniciales z₀.
Una cuenta compleja antes de iterar
Elevar 1+2i al cuadrado y después sumar c=i.
Cuadrado
(1+2i)²=1+4i+4i²=−3+4i.Sumar el parámetro
−3+4i+i=−3+5i.Módulo
La distancia del resultado al origen es √34.
El parámetro se suma después de cuadrar toda la entrada.
No se eleva solo la parte real ni se cambia i² por uno.
Dos posiciones del mapa son dos reglas
Comparar c=0 y c=1 desde cero.
Primera regla
Con c=0: 0→0→0.Segunda regla
Con c=1: 0→1→2→5.Qué muestra el mapa
Marca el comportamiento de cada elección c en su propia coordenada.
El punto uno del mapa no es simplemente el segundo paso de la regla c=0.
No cambiamos c a mitad de una órbita.
2. La órbita crítica empieza siempre en cero
Los primeros términos son cero, c y c²+c. Se llama órbita crítica porque la derivada de z²+c es 2z y solo se anula en el punto finito cero.
c pertenece a M si existe alguna cota B para todos los módulos de esa órbita. No se exige convergencia a un punto: una sucesión periódica o preperiódica también puede quedar acotada.
Una órbita compleja que acaba en un ciclo
c=i.
Primeros pasos
0→i→−1+i.Seguir
(−1+i)²+i=−i, y (−i)²+i=−1+i.Cola
Se repite −1+i↔−i; todos los módulos son como máximo √2.
i pertenece a M.
El cero no está en el ciclo final: la órbita es preperiódica.
La cota controla infinitos pasos con una identidad
c=0.
Primer paso
f₀(0)=0.Inducción
Cada vez que entra cero vuelve a salir cero.
Todos los índices
zₙ=0 para todo n, una cota B=0 sirve.
Cero pertenece a M.
No solo se han mirado algunos valores iguales en una pantalla.
3. Por qué superar dos certifica escape de la órbita crítica
Desde el primer r₀>2, el factor de crecimiento es al menos r₀−2/r₀>1: los módulos crecen geométricamente sin cota.
Para r≥a, el siguiente módulo es al menos r²−a≥r(a−1), con factor a−1>1. Por tanto 
. Esta afirmación de radio dos usa el arranque crítico en cero.
El parámetro puede tocar dos y la órbita superarlo
c=2.
Arrancar
z₀=0 y z₁=0²+2=2.Seguir una vez
z₂=2²+2=6>2.Después
Como |c|≤2, el criterio garantiza escape a infinito sin calcular el resto de términos.
Dos no pertenece a M.
El parámetro y los términos de la órbita cumplen papeles diferentes.
Un parámetro de módulo mayor que dos
c=−3.
Arranque
z₁=−3 tiene módulo tres.Cota de crecimiento
Para r≥3 el siguiente módulo es al menos r(r−1)≥2r.Cuenta de control
La órbita real empieza 0,−3,6,33,…
−3 no pertenece a M.
La prueba no depende de que los primeros signos sean positivos.
4. Tocar el radio no es cruzarlo
Alcanzar dos puede dar una órbita acotada: hay que aplicar la regla y mirar qué ocurre después.
Una desigualdad exacta certifica exclusión. Un cálculo aproximado muy cercano al umbral necesita control del error para convertirse en certificado; el color de una celda no aporta ese control por sí solo.
El caso que obliga a conservar el signo estricto
c=−2.
Primeros pasos
0→−2→2.Cola
2²−2=2: queda fijo.Cota
Los módulos nunca superan dos.
−2 pertenece a M.
Usar mayor o igual como criterio de escape daría una clasificación falsa.
Otro toque seguido de salida
c=1.
Tocar
La órbita 0→1→2 alcanza dos en el paso dos.Seguir
El próximo valor es 2²+1=5.Cruzar
Cinco es estrictamente mayor que dos y certifica escape.
No se concluye hasta el cruce estricto.
El mismo módulo dos puede ser seguido por comportamientos diferentes según c.
5. Para demostrar pertenencia hay que controlar el futuro
Una órbita exacta finita que entra en un ciclo queda acotada. Otra estrategia es encontrar una región acotada invariante que contenga el arranque: si su imagen queda dentro, todas las iteraciones permanecen allí.
Reconocer números casi repetidos no prueba un ciclo exacto. Necesitamos identidades o cotas que valgan para todas las iteraciones posteriores.
Un disco que atrapa muchas elecciones
Si |c|≤1/4, usar el disco |z|≤1/2.
Imagen
|z²+c|≤|z|²+|c|≤1/4+1/4=1/2.Arranque
Cero está en ese disco.
Inducción
La órbita crítica nunca sale del disco, para cualquier parámetro con esa cota.
Todo c de módulo ≤1/4 pertenece a M.
Es una región suficiente, no todo el conjunto de Mandelbrot.
Una prueba no periódica por intervalo invariante
c=3/16, con entradas reales.
Intervalo
Si 0≤x≤1/4, entonces 3/16≤x²+3/16≤1/4.Órbita
Empieza en cero, por lo que se mantiene en [0,1/4].
Decisión
Una cota un cuarto controla todos los términos.
3/16 pertenece a M sin detectar un ciclo finito.
Una sucesión acotada no tiene por qué repetir un valor.
6. Un punto fijo atractor explica la cardioide principal
Su multiplicador es 2w: si |2w|<1 atrae puntos suficientemente próximos; si |2w|>1 es repulsor. El caso de módulo uno necesita más análisis.
Poniendo μ=2w, los parámetros c=μ/2−μ²/4 con |μ|<1 describen el interior de la cardioide principal. Que el ciclo atractor capture la órbita crítica es un teorema global de esta familia, no una consecuencia de la fórmula local por sí sola.
Un punto fijo que podemos verificar
w=1/4.
Parámetro
c=w−w²=1/4−1/16=3/16.Fijación
(1/4)²+3/16=1/4.Atracción
El multiplicador es 1/2, de módulo menor que uno.
El punto fijo es atractor.
La pertenencia de este c también se demostró con el intervalo invariante anterior.
Módulo uno no significa escape automático
c=1/4 y w=1/2.
Fijación
1/4+1/4=1/2.Multiplicador
2w=1: el criterio estricto de atracción no clasifica este punto.
Órbita crítica
[0,1/2] se mantiene invariante bajo x²+1/4, así que está acotada.
Este parámetro pertenece a M aunque el test local de módulo menor que uno no se aplique.
La clasificación neutral requiere más información.
7. Periodo y multiplicador describen los bulbos
Un punto tiene periodo p si vuelve después de p pasos y no antes. El multiplicador del ciclo es el producto de 2z en los p puntos. Módulo menor que uno implica atracción local del ciclo; multiplicador cero lo hace superatractor.
Los parámetros donde persiste un ciclo atractor forman regiones de estabilidad. La órbita crítica puede acercarse al ciclo sin entrar exactamente en él. Por eso pertenecer a M no equivale a terminar en una lista periódica finita.
Encontrar el multiplicador del ciclo de dos
c=−1 y ciclo 0↔−1.
Periodo
Cero y menos uno son distintos y cada uno se transforma en el otro.
Producto
(2·0)(2·(−1))=0.Interpretación
Es superatractor; el parámetro es el centro del bulbo de periodo dos.
Su órbita crítica es periódica y acotada.
Se usa la derivada de dos pasos, no la de un solo punto del ciclo.
Una órbita acotada que nunca entra en un ciclo finito
c=3/16 desde cero.
No llega al punto fijo
Si x<1/4 dentro de [0,1/4], su imagen también es menor que 1/4.Aumenta estrictamente
x²−x+3/16=(x−1/4)(x−3/4)>0 cuando 0≤x<1/4.Límite
Es creciente y acotada; su límite fijo en ese intervalo es 1/4.
Converge, pero no repite exactamente términos.
Un número finito de estados no describe todas las órbitas de M.
8. Compacidad y conexión con los planos de Julia
Cada zₙ(c) es un polinomio en c.
M es la intersección de todas esas condiciones y queda dentro de |c|≤2, así que es compacto. Su conectividad es un teorema profundo; no se deduce de ser una intersección de cerrados.
Para z²+c, el Julia es conectado exactamente cuando la órbita crítica está acotada. M es, por tanto, un mapa de conectividad de los planos dinámicos. Estar fuera de M no significa que escapen todos los puntos iniciales de esa regla.
Un parámetro fuera, pero un punto que no escapa
c=−3.
Órbita crítica
Cero pasa a menos tres y escapa, por lo que c∉M.
Otro inicio
w=(1+√13)/2 satisface w²−3=w.Diferencia de preguntas
Empezar en w produce una órbita constante, aunque la de cero escape.
La regla tiene puntos acotados sin que su parámetro pertenezca a M.
La definición de Mandelbrot distingue el arranque cero.
Una acumulación de parámetros no pierde pertenencia
cⱼ∈M y cⱼ→c.
Un paso fijo
Para cada n, la continuidad polinómica da zₙ(cⱼ)→zₙ(c).Cota cerrada
Como |zₙ(cⱼ)|≤2, también |zₙ(c)|≤2.Todos los pasos
Lo hacemos para cada n: la órbita crítica de c está acotada.
El límite c pertenece a M: M es cerrado.
El argumento mantiene n fijo al tomar el límite en parámetros.
9. El color cuenta iteraciones, no demuestra pertenencia
Un algoritmo elige una malla de parámetros y un máximo N de pasos. Si detecta módulo mayor que dos, colorea por el primer paso de escape. Las paletas exteriores representan una convención gráfica de rapidez.
Si no escapa en N pasos, solo es candidato. Aumentar N puede detectar escapes tardíos; aumentar resolución distingue detalles más pequeños. Las semejanzas visuales tampoco prueban una autosemejanza exacta de un número fijo de copias a razón constante.
Dos tareas distintas de mejora de imagen
Un dibujo con pocas celdas y solo veinte iteraciones.
Más resolución
Compara más valores del parámetro; no alarga sus órbitas.
Más iteraciones
Sigue durante más pasos los centros elegidos; no rellena huecos entre celdas.
Límite de la imagen
Ninguna de las dos operaciones convierte supervivencia finita en prueba de órbita acotada.
Resolución e iteraciones controlan errores diferentes.
El dibujo de esta lección declara ochenta pasos y muestreo en centros.
Por qué ningún número finito de pasos basta como criterio general
Comparar c=1/4 con parámetros reales c=1/4+δ.
Parámetro frontera
Para c=1/4 todos los términos críticos quedan en [0,1/2].
Primeros N pasos
Por continuidad de los N polinomios, para δ>0 suficientemente pequeño todos esos términos siguen con módulo menor que dos.
Después
Pero xₙ₊₁−xₙ=(xₙ−1/2)²+δ≥δ: la órbita real acaba creciendo sin cota.
Para cualquier N hay parámetros exteriores que sobreviven esos N pasos.
La exclusión puede certificarse en tiempo finito; la supervivencia sola no certifica pertenencia.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un parámetro que escapa
Estudia c=1 desde z₀=0.
Regla y arranque
Mantenemos c=1 y z₀=0 durante toda la órbita.Primer paso
z₁=0²+1=1.Segundo
z₂=1²+1=2.Tocar dos todavía no demuestra escape.
Tercero
z₃=2²+1=5.Aplicar el criterio
Cinco supera estrictamente dos; la prueba de crecimiento garantiza módulos sin cota.
Conclusión
c=1 no pertenece a M; no hace falta calcular infinitos términos.
c=1 no pertenece a M.
La exclusión se demuestra con el primer cruce estricto, sin necesitar calcular todas las iteraciones posteriores.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un ciclo acotado
Estudia c=−1 desde z₀=0.
Regla y arranque
c=−1 y z₀=0.Primer paso
z₁=0²−1=−1.Segundo
z₂=(−1)²−1=0.Reconocer la repetición exacta
Desde cero vuelve a salir menos uno: se repite el ciclo de dos puntos.
Cota
Todos los módulos son cero o uno, así que B=1 sirve para todo n.
Conclusión
c=−1 pertenece a M.El periodo es dos porque los dos puntos son distintos.
c=−1 pertenece a M.
El ciclo tiene periodo dos porque0 y−1 son distintos y ambos pasos se verifican exactamente.
Los símbolos que hemos usado
- c
- Parámetro complejo que elige una función de la familia.
- Polinomio z²+c.
- zₙ
- Estado tras n iteraciones, con z₀=0 en la definición de Mandelbrot.
- M
- Parámetros para los que la órbita de cero es acotada.
- |z|
- Módulo del complejo: su distancia al origen.
- Punto crítico
- Punto donde se anula la derivada; para esta familia es cero.
- Multiplicador
- Derivada de una vuelta completa alrededor de un punto periódico.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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