Ahora la regla de quitar el centro se aplica a figuras planas. Construiremos un triángulo y una alfombra para comparar tres cosas: número de piezas, tamaño de cada pieza y área total. Crecer en cantidad puede ir acompañado de perder área y conservar conexiones.
Si necesitas repasar:
1. El triángulo se obtiene conservando tres esquinas
Partimos de un triángulo equilátero lleno T₀. Unir puntos medios crea cuatro triángulos congruentes de lado mitad. Retiramos el interior del central y conservamos los otros tres con sus bordes.
Repetimos dentro de cada pieza conservada. El conjunto de Sierpiński es la intersección de todas las etapas Tₙ. Los lados del hueco central no se borran: pertenecen a los triángulos vecinos.
Seguir una primera retirada
Triángulo de lado ocho.
Subdividir
Cada pieza nueva tiene lado cuatro.
Conservar
Quedan tres de las cuatro piezas.
Bordes
Los tres triángulos se tocan en puntos medios; esos contactos se conservan.
La primera etapa tiene tres piezas y sigue conectada.
No se retiran los bordes del hueco como si fueran su interior.
La regla se repite dentro de cada esquina
Pasar del nivel uno al dos.
Piezas de partida
Tres triángulos conservados.
Cada uno produce tres
Quedan 3·3=9 triángulos.Escala
Sus lados son un cuarto del lado inicial.
La segunda etapa tiene nueve piezas de construcción.
No es simplemente abrir otro hueco en el triángulo central ya retirado.
2. La alfombra conserva ocho celdas de una cuadrícula
Empezamos con un cuadrado lleno A₀. Lo dividimos en tres por tres y retiramos el interior de la celda central. Conservamos las otras ocho, incluidos sus bordes.
En cada celda conservada repetimos la misma regla. El límite es la intersección de Aₙ. Algunas celdas comparten lados: contar celdas de construcción no equivale a contar componentes conexas.
Una primera alfombra de lado nueve
Construir A₁.
Cuadrícula
Nueve cuadrados de lado tres.
Retirar
El centro tiene área nueve y se elimina solo su interior.
Conservar
Ocho celdas quedan unidas por bordes.
Se conserva una fracción 8/9 del área inicial.
El hueco no rompe el anillo de celdas alrededor.
La segunda retirada sucede en ocho lugares
Construir A₂ desde A₁.
Una por celda
Cada uno de los ocho cuadrados produce ocho nuevos.
Cantidad
8·8=64 cuadrados.Escala
Cada lado es un noveno del lado inicial; el hueco grande sigue ausente.
Hay 64 piezas, con bordes compartidos.
No son 64 componentes aisladas.
3. Cantidad y lado tienen potencias distintas
En el triángulo, Tₙ tiene 3ⁿ piezas de lado relativo 2⁻ⁿ. En la alfombra, Aₙ tiene 8ⁿ piezas de lado relativo 3⁻ⁿ. Todas las fórmulas parten de nivel cero.
El número crece y el tamaño baja a la vez. Para obtener el área de cada copia todavía hay que elevar al cuadrado su razón de lados.
Tres pasos de triángulo
Lado inicial doce.
Cantidad
3³=27 piezas.Lado
12/2³=3/2.Escala de área por pieza
(1/8)²=1/64 del área inicial.
La suma de áreas relativas es 27/64.
La cantidad 27 y la longitud 3/2 responden a preguntas distintas.
Dos pasos de alfombra
Lado inicial dieciocho.
Cantidad
8²=64 piezas.Lado
18/3²=2.Área
Cada cuadrado mide cuatro y el total es 64·4=256.
256/324=64/81 del área inicial.
El factor de lado un noveno se eleva al cuadrado para cada pieza.
4. El área por paso multiplica cantidad por r²
En el triángulo cada copia ocupa un cuarto y quedan tres: el factor total es 3/4. En la alfombra cada copia ocupa un noveno y quedan ocho: el factor total es 8/9.
Los interiores no se solapan y los bordes tienen área cero. Por eso podemos sumar áreas sin contar dos veces una cantidad positiva. Si el área inicial es B₀, quedan B₀(3/4)ⁿ y B₀(8/9)ⁿ.
Un área inicial distinta
Triángulo de área 64, después de tres pasos.
Factor por paso
3/4.
Potencia
(3/4)³=27/64.Área
64·27/64=27.
Quedan 27 unidades cuadradas.
Multiplicar solo por (1/2)³ habría usado lados en lugar de áreas.
Comparar dos construcciones desde la misma área
Área inicial uno y dos pasos.
Triángulo
(3/4)²=9/16.Alfombra
(8/9)²=64/81.Comparar
9/16≈0,5625; 64/81≈0,7901.
La alfombra pierde área más lentamente en estas etapas.
Ambas razones son menores que uno, aunque distintas.
5. El área límite es cero sin que desaparezca el conjunto
Las potencias (3/4)ⁿ y (8/9)ⁿ tienden a cero. El límite está contenido en cada etapa, así que su área no supera ninguna de esas cotas: tiene área cero.
Los bordes exteriores y otros puntos sobreviven. Las etapas son compactas no vacías anidadas y su intersección también es compacta y no vacía. Una prueba de área no cuenta puntos ni decide por sí sola la conexión.
Un lado completo sobrevive
El lado inferior del triángulo inicial.
Primera retirada
El hueco central interior no elimina puntos de ese lado exterior.
Repetir
Las retiradas menores también son interiores de las piezas, no del borde exterior.
Límite
Todo ese lado sigue dentro del conjunto final.
Área cero puede coexistir con un segmento de longitud positiva.
Longitud y área son medidas diferentes.
Una tolerancia no describe el nivel infinito
Alfombra de área inicial uno.
Nivel finito
Para cualquier n, (8/9)ⁿ sigue siendo positiva.
Elegir precisión
Podemos hacerla menor que cualquier ε>0 escogiendo n grande.
Límite
Solo la intersección infinita tiene área exactamente cero.
No hay un paso finito en que el área se convierta en cero.
Una pantalla puede ocultar piezas pequeñas antes de que el proceso matemático termine.
6. Dimensión por escala, con separación verificada
El triángulo usa tres similitudes de razón un medio: 
=ln3/ln2≈1,58496.
=ln8/ln3≈1,89279.Los interiores de las figuras iniciales sirven como abiertos: sus imágenes son disjuntas y quedan dentro. La condición de conjunto abierto identifica esos exponentes con las dimensiones de Hausdorff y cajas. Los contactos de los bordes no la invalidan.
El triángulo tiene exponente entre uno y dos
Resolver 3(1/2)ˢ=1.
Despejar
2ˢ=3: s=ln3/ln2.Comparar
En uno la suma es 3/2>1; en dos es 3/4<1.Interpretar
El exponente está entre uno y dos, aunque las etapas llenas sean bidimensionales.
La dimensión del límite es aproximadamente 1,585.
La razón usada es de lado, un medio, no de área, un cuarto.
La alfombra queda más cerca de dos
Resolver 8(1/3)ˢ=1.
Despejar
3ˢ=8: s=ln8/ln3.Comparar
3¹=3<8<9=3².Resultado
s≈1,89279, menor que dos y mayor que la dimensión triangular.
El área plana cero no obliga a dimensión uno.
La dimensión no sustituye al argumento de medida.
7. Los contactos conservan conexión aunque haya muchos huecos
En cada etapa triangular las tres subpiezas se tocan en vértices; en la alfombra se unen por bordes. Por inducción, cada etapa es conexa.
La intersección de compactos conexos no vacíos anidados sigue siendo conexa. Una separación del límite por dos abiertos disjuntos obligaría, por compacidad y anidación, a separar también una etapa suficientemente avanzada. En cambio ninguno de estos límites tiene interior: un disco interior daría área positiva, contradiciendo su área cero.
Muchas piezas no implican muchas componentes
T₂ tiene nueve triángulos.
Dentro de cada esquina
Sus tres subtriángulos conservan contactos.
Entre esquinas
También se mantienen los puntos de unión heredados del primer nivel.
Conjunto total
Sigue siendo una sola componente conexa.
Nueve piezas de construcción, una componente.
Si se borraran los puntos de contacto se estaría estudiando otra construcción.
Conexo no significa que contenga un disco
El límite de la alfombra.
Conexión
Se conserva por las etapas compactas conexas anidadas.
Interior supuesto
Si contuviera un disco de radio positivo, su área sería al menos πr²>0.
Contradicción
Su área es cero.
Es conexo y tiene interior vacío.
Cantor es diferente: también tiene interior vacío, pero es totalmente desconectado.
8. La longitud de bordes puede crecer mientras el área cae
Para el triángulo de perímetro inicial P₀, las 3ⁿ piezas de lado relativo 2⁻ⁿ suman perímetro P₀(3/2)ⁿ. Solo comparten puntos, así que no hay tramos de longitud positiva contados dos veces.
En la alfombra no sumamos sin más perímetros de celdas compartidas. Contamos fronteras de huecos: en el paso k nacen 8ᵏ⁻¹ huecos de lado L₀/3ᵏ y perímetro total 4L₀·8ᵏ⁻¹/3ᵏ. Esa serie diverge, aunque el área restante baje.
Triángulo: área baja y perímetros sumados suben
Lado inicial cuatro, P₀=12, nivel dos.
Cantidad y lado
Nueve piezas de lado uno.
Perímetros
Cada una tiene perímetro tres: suman 27.
Fórmula
12(3/2)²=27, frente al área relativa 9/16.
La longitud de borde y el área no siguen la misma razón.
Los contactos son puntos y no restan segmentos a esta suma.
Alfombra: contar huecos, no interfaces internas
Lado inicial tres, dos pasos.
Primer hueco
Lado uno y perímetro cuatro.
Segundo nivel
Ocho huecos de lado un tercio: perímetro total 32/3.
Fronteras visibles
Los huecos suman 44/3; con el borde exterior de perímetro doce, la frontera de esta etapa mide 80/3.
Las aristas entre celdas retenidas no son todas frontera del conjunto.
El número de huecos nuevos y su lado se cuentan por separado.
9. Una etapa llena y el límite tienen dimensiones distintas
Cada etapa finita conserva triángulos o cuadrados llenos de área positiva, así que su dimensión de Hausdorff es dos. La dimensión menor que dos pertenece a la intersección infinita.
La dimensión no tiene por qué variar continuamente al acercarse unos conjuntos a otro. Los dibujos muestran la regla y permiten comprobar cuentas finitas; el límite y el teorema de separación justifican la afirmación de dimensión.
Aunque sea un nivel muy avanzado
Triángulo detenido en nivel cien.
Área
B₀(3/4)¹⁰⁰ es pequeña pero positiva.
Piezas
Cada pequeño triángulo sigue lleno y tiene interior.
Dimensión
La etapa finita tiene dimensión dos, mientras el límite tiene ln3/ln2.
Muchos pasos no son el mismo objeto que infinitos pasos.
No se redondea la dimensión de una etapa a la del límite.
Comprobar una estimación de pantalla
Un dibujo de la alfombra en pocos tamaños de píxel.
Escalas visibles
Podemos estimar cómo crece el número de cajas dentro de ese rango.
Límite ideal
Para afirmar ln8/ln3 usamos el sistema de similitudes y su separación.
Resolución
Por debajo del píxel la imagen ya no aporta información de nuevos huecos.
La imagen es apoyo visual, no demostración del límite.
Hay que distinguir el modelo de píxeles del conjunto matemático.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Área del triángulo
Área inicial 16. ¿Qué área queda tras dos pasos?
Datos
Área inicial 16 y dos retiradas del triángulo.
Razón de lado
Cada copia tiene lado mitad.
Razón de área
Cada copia ocupa un cuarto y quedan tres: factor total 3/4.
Dos pasos
16(3/4)²=16·9/16=9.Comprobar por piezas
Quedan 3²=9 triángulos y cada uno ocupa 1/16 del área inicial: un área cada uno.
Interpretar
Nueve unidades cuadradas en la etapa dos, todavía positiva; el límite tiene área cero.
Quedan 9 unidades de área.
Nueve piezas de área uno suman9; la cuenta coincide con aplicar dos veces el factor3/4.
EJEMPLO RESUELTO 2
Piezas de la alfombra
¿Cuántos cuadrados quedan tras dos pasos de la alfombra?
Nivel cero
Un cuadrado lleno.
Primera retirada
De la cuadrícula tres por tres se conservan ocho celdas.
Segunda retirada
Cada una produce ocho: 8·8=64 cuadrados.Escala
Cada lado es un noveno del lado inicial.
Área relativa
64·(1/9)²=64/81, coherente con (8/9)².Conexión
Son 64 piezas de construcción que comparten bordes; no son 64 componentes desconectadas.
64 cuadrados.
Las64 piezas no son64 componentes separadas: comparten bordes y la etapa total conserva conexión.
Los símbolos que hemos usado
- Tₙ
- Etapa n del triángulo, con T₀ como triángulo lleno inicial.
- Aₙ
- Etapa n de la alfombra, con A₀ como cuadrado lleno inicial.
- L₀
- Longitud de lado de la figura inicial.
- B₀
- Área inicial para expresar las áreas relativas.
- r
- Razón de longitudes entre copia y figura madre.
- Dimensiones de similitud del triángulo y de la alfombra, respectivamente.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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