Partiremos de un segmento y quitaremos el centro una y otra vez. Veremos qué queda en cada paso y cómo puede sobrevivir un conjunto con infinitos puntos aunque su longitud sea cero. La regla, las expansiones en base tres y la dimensión explicarán aspectos distintos del mismo objeto.
Si necesitas repasar:
1. Quitar el tercio central abierto conserva sus extremos
Dentro de cada intervalo repetimos la misma retirada proporcional.
Cada etapa es cerrada y está contenida en la anterior. El conjunto C es su intersección: un punto pertenece si sobrevive a todos los pasos. Una imagen de unas pocas etapas todavía contiene intervalos que el límite no conservará enteros.
La primera decisión
Comparar cero, un medio y un tercio.
Cero
Es extremo del intervalo original y permanece.
Un medio
Está dentro del primer hueco abierto: se elimina.
Un tercio
Es frontera del hueco, no parte de su interior: permanece.
Abierto significa que no retiramos los extremos del hueco.
No se ha declarado que los puntos de C₁ sobrevivan todos los pasos posteriores.
La segunda retirada
Dentro de [0,1/3], encontrar el siguiente hueco.
Longitud de la pieza
Un tercio.
Tercio de esa longitud
Un noveno.
Retirar el centro
Se quita (1/9,2/9), conservando ambos extremos.
En el lado izquierdo quedan [0,1/9] y [2/9,1/3].
La regla se aplica a cada pieza, no otra vez al segmento grande completo.
2. Contar por separado piezas y longitud de cada una
Cada pieza produce dos, de longitud un tercio de la madre. En Cₙ hay 2ⁿ intervalos de longitud 3⁻ⁿ.
El índice n cuenta retiradas: n=0 es el intervalo inicial, no la primera retirada.
Cuatro retiradas
Calcular cantidad, tamaño y total de C₄.
Cantidad
2⁴=16.Cada pieza
3⁻⁴=1/81.Total
16·1/81=16/81.
Más piezas no significa más longitud total.
La suma 16/81 es menor que 8/27 del nivel anterior.
Resolver hacia atrás una etapa
Una figura de la construcción tiene 32 intervalos.
Cantidad
32=2⁵, así que corresponde al nivel cinco.Tamaño
Cada intervalo mide 1/243.
Total
La longitud es 32/243.
El dato de cantidad identifica el número de retiradas.
El nivel cero tiene una pieza y encaja en la misma regla.
3. Longitud cero no significa ausencia de puntos
C está contenido en Cₙ, así que su longitud no supera (2/3)ⁿ para ningún n. Es cerrado y medible; como esas cotas tienden a cero, su medida de longitud es cero.
Otra cuenta suma los huecos: en el paso k se quitan 2ᵏ⁻¹ intervalos de longitud 3⁻ᵏ. La serie tiene primer término 1/3 y razón 2/3, y suma uno. Medir longitudes no consiste en contar puntos.
Una cota tan pequeña como pidamos
Garantizar longitud total menor que 0,1 en una etapa.
Potencias
(2/3)⁵=32/243≈0,1317; (2/3)⁶=64/729≈0,0878.Elección
El nivel seis ya sirve.
Límite
C queda dentro de esa etapa y de todas las siguientes: podemos repetir con cualquier tolerancia.
No solo se ha observado que el dibujo parece fino.
La cota se obtiene para todos los puntos del conjunto.
La suma de lo retirado
Sumar las longitudes de todos los huecos.
Primeros pasos
1/3, 2/9, 4/27,…
Serie geométrica
(1/3)/(1−2/3)=1.Puntos que quedan
Cero, uno y los extremos de cada hueco nunca fueron retirados.
Se retira toda la medida inicial y aún queda un conjunto no vacío.
La longitud de un punto individual es cero.
4. La base tres registra izquierda y derecha
Una expansión ternaria escribe x=∑dₖ3⁻ᵏ con dígitos 0,1,2. En la construcción, escoger izquierda corresponde a cero y derecha a dos.
La condición correcta es que exista alguna expansión usando solo cero y dos. Los extremos pueden tener dos escrituras: 1/3=0,1₃=0,02222…₃. El número uno se escribe 0,22222…₃ en esta descripción.
Un número con decisiones alternadas
x=0,020202… en base tres.
Serie
2/9+2/81+2/729+…
Sumar
Primer término 2/9 y razón 1/9: la suma es 1/4.
Pertenencia
Solo aparecen dígitos cero y dos, así que 1/4 pertenece a C.
Las decisiones son izquierda, derecha, izquierda, derecha,…
La coma es ternaria, no una expansión decimal de 0,020202.
Un extremo con una escritura permitida
x=1/3.
Escritura corta
0,1₃ contiene un uno.
Alternativa
0,02222…₃=∑ desde k=2 de 2/3ᵏ=1/3.Decidir
Existe la escritura permitida: el punto está en C.
No basta encontrar un uno en una representación para excluir un extremo.
Geométricamente es el extremo conservado del primer hueco.
5. Las sucesiones de decisiones prueban que no es numerable
Si dos sucesiones difieren por primera vez en la posición k, ese dígito aporta una diferencia 2/3ᵏ y la cola puede compensar como máximo 1/3ᵏ. Sus puntos son distintos.
Las sucesiones binarias infinitas no se pueden listar: de una supuesta lista construimos una nueva cambiando el dígito n de la fila n. Esa diagonal falta en la lista. Como se inyectan en C, C no es numerable.
El primer dígito distinto no se borra con la cola
Dos sucesiones coinciden hasta el dígito k−1 y en k tienen cero y dos.
Diferencia inicial
2·3⁻ᵏ.
Máxima cola contraria
∑ desde j=k+1 de 2·3⁻ʲ=3⁻ᵏ.Resto mínimo
La distancia entre los puntos es al menos 3⁻ᵏ>0.
La aplicación de sucesiones binarias a C es inyectiva.
La ambigüedad entre dígitos ternarios que incluyen uno no contradice esta unicidad dentro de 0 y 2.
La diagonal en una supuesta lista
Imaginar una lista b de todas las sucesiones binarias.
Construir
Elegimos cₙ=1−b de la fila n en su posición n.Comparar con la fila n
c difiere de ella justamente en esa posición.
Conclusión
No coincide con ninguna fila; la lista no contenía todas.
Hay más puntos de C que los que caben en una lista numerada.
No se ha deducido eso solo de la palabra infinito.
6. Compacto y sin puntos aislados
C es una intersección de cerrados dentro de [0,1], así que es cerrado y acotado: compacto. No está vacío porque cero y uno sobreviven siempre.
Para encontrar otro punto de C muy cercano a uno dado, conservamos un prefijo largo de su expansión permitida y cambiamos un dígito posterior. Ambos puntos quedan en el mismo intervalo de nivel alto, de longitud 3⁻ⁿ. Así ningún punto está aislado; un cerrado sin puntos aislados se llama perfecto.
Acercarse a un extremo sin salir del conjunto
Aproximar cero por puntos distintos de C.
Puntos
Tomamos xₙ=2/3ⁿ, n≥1.Expansión
Tienen un solo dígito dos y el resto ceros: pertenecen a C.
Cercanía
xₙ>0 y xₙ→0.
Cero es punto de acumulación, aunque sea extremo.
No necesita tener puntos del conjunto por ambos lados de la recta.
Acercarse a cualquier punto
Dado x∈C y una tolerancia ε>0.
Nivel
Elegimos n con 3⁻ⁿ<ε.Otra decisión posterior
Conservamos los primeros n dígitos y cambiamos uno posterior.
Distancia
El nuevo punto y es distinto y ambos caben en el mismo intervalo de longitud 3⁻ⁿ: |x−y|<ε.
No hay puntos aislados en ninguna parte de C.
La inyectividad de las decisiones garantiza que el punto nuevo no es el mismo.
7. Muchos puntos cercanos no forman un intervalo
Si C contuviera un intervalo de longitud ℓ>0, ese intervalo conexo tendría que caber en una sola componente de Cₙ para cada n. Pero sus componentes miden 3⁻ⁿ y acaban siendo menores que ℓ: imposible.
Dados dos puntos distintos de C, un nivel con piezas menores que su distancia los coloca en intervalos distintos, separados por un hueco. Un corte dentro de ese hueco separa también cualquier subconjunto que contenga ambos. Por eso C es totalmente desconectado.
Descartar un intervalo concreto
¿Puede C contener un segmento de longitud 0,02?
Escala
En el nivel cuatro cada intervalo mide 1/81≈0,01235.Conexión de un segmento
Para atravesar dos piezas tendría que cruzar un hueco retirado.
Contradicción
No cabe en una pieza ni puede saltar el hueco.
No contiene tal segmento.
La misma idea funciona para cualquier longitud positiva escogiendo un nivel mayor.
Separar dos puntos que sobreviven
Cero y uno.
Hueco
El primer hueco (1/3,2/3) está ausente de C.
Corte
Elegimos un corte en 1/2.
Separación relativa
Los puntos de C a izquierda y derecha forman dos partes abiertas relativas disjuntas que contienen cero y uno respectivamente.
No hay un subconjunto conexo de C que una esos dos puntos.
El argumento se repite entre cualquier par distinto con una escala suficientemente pequeña.
8. Dos copias dan una dimensión positiva
Las imágenes del abierto (0,1) son disjuntas y están contenidas en él.
Por la condición de conjunto abierto, 
. Para la cota superior basta cubrir con los 2ⁿ intervalos de tamaño 3⁻ⁿ: si t>s, el coste es (2·3⁻ᵗ)ⁿ→0.
Comprobar la ecuación
Dos copias de razón un tercio.
Ecuación
2·3⁻ˢ=1.Despejar
3ˢ=2 y s=ln2/ln3.Comprobar rango
Para s=0 la suma es dos; para s=1 es 2/3.La solución queda entre cero y uno.
Dimensión positiva aunque la longitud sea cero.
La separación es la hipótesis que permite identificar el exponente.
Ver un coste superior que desaparece
Usar exponente t=1.
Cubierta de nivel n
2ⁿ piezas de diámetro 3⁻ⁿ.
Coste
2ⁿ·3⁻ⁿ=(2/3)ⁿ.Límite
Tiende a cero: la medida unidimensional es cero.
Esto explica longitud cero, pero por sí solo no prueba la dimensión exacta.
Para t=s el mismo coste vale uno; hace falta una cota inferior para todas las cubiertas.
9. Una distribución de masa impide cubrirlo demasiado barato
Asignamos masa uno al conjunto y dividimos la masa por la mitad entre las dos ramas en cada paso. Cada intervalo de nivel n tiene masa 2⁻ⁿ. Es la distribución de elegir las decisiones con monedas equilibradas.
Toca como máximo dos piezas de nivel n, por lo que μ(I)≤2·2⁻ⁿ<4ℓˢ. Cualquier conjunto de diámetro ℓ cabe en un intervalo así. Por tanto toda cubierta de C tiene 1≤4∑diámetroˢ: su coste no baja de 1/4. Esta cota inferior completa la superior y prueba dimensión s.
Una cubierta tiene que llevar toda la masa
Cubrir C con conjuntos de diámetros ℓⱼ.
Masa total
La suma de sus masas debe ser al menos μ(C)=1.
Cota de cada pieza
Su masa es como máximo 4ℓⱼˢ.
Sumar
1≤4∑ℓⱼˢ, así que el coste crítico es al menos 1/4.
La cota vale para cualquier cubierta suficientemente pequeña.
No basta comprobar solo los intervalos elegidos por la construcción.
El adjetivo ternario clásico importa
Cambiar el tamaño de los huecos retirados.
Construcción diferente
Retiramos en cada paso huecos centrales cuya suma total de longitudes sea, por ejemplo, un medio.
Medida restante
La intersección conserva longitud un medio por continuidad de medida de etapas anidadas.
Diferencia
Puede seguir sin intervalos si los tamaños de las piezas tienden a cero, pero ya no tiene las razones constantes del Cantor ternario.
Hay conjuntos de tipo Cantor de medida positiva.
Las fórmulas (2/3)ⁿ y ln2/ln3 pertenecen a la construcción clásica de este tema.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Contar la tercera etapa
Con C₀ como etapa inicial, calcula cuántos intervalos quedan en C₃ y su longitud total.
Índice
C₀ es el intervalo inicial; C₃ corresponde a tres retiradas.
Cantidad
Cada paso duplica: 2³=8 intervalos.Tamaño de una pieza
Cada paso divide la longitud entre tres: 3⁻³=1/27.
Sumar longitudes
8·1/27=8/27.Comprobar por razón total
(2/3)³=8/27.Interpretar
Cada intervalo de C₃ sigue lleno; el conjunto límite queda contenido en esta etapa.
Ocho intervalos y longitud total 8/27.
La fórmula general(2/3)³=8/27 coincide con cantidad2³ por longitud3⁻³.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un extremo que permanece
¿Pertenece 1/3 al conjunto de Cantor?
Primera retirada
Solo se elimina el intervalo abierto (1/3,2/3).
Posición del punto
Un tercio está en el borde y no se elimina.
Pasos posteriores
Es extremo de la rama izquierda y las retiradas siguientes también conservan extremos.
Expansión alternativa
1/3=0,02222… en base tres.Regla de dígitos
Existe una representación usando únicamente cero y dos.
Conclusión
Sí pertenece a C; ver un uno en la expansión corta 0,1₃ no lo excluye.
Sí, 1/3 pertenece a C.
La expansión alternativa explica por qué detectar un dígito1 en una representación no basta para excluir un extremo.
Los símbolos que hemos usado
- C₀
- Intervalo inicial[0,1].
- Cₙ
- Unión de los intervalos que quedan tras n retiradas de tercios centrales.
- C
- Conjunto de Cantor, intersección de todas las etapas Cₙ.
- 3⁻ⁿ
- Longitud de cada intervalo de la etapa n.
- Medida de Lebesgue
- Noción de longitud que extiende la de intervalos y es aditiva en uniones disjuntas numerables.
- Perfecto
- Conjunto cerrado sin puntos aislados.
- s
- Dimensión ln2/ln3 del conjunto de Cantor clásico.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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