Autosimilitud y dimensión de semejanza

Una similitud conserva la forma y multiplica todas las distancias por la misma razón r. Puede trasladar, girar o reflejar. Si 0<r<1 es una contracción: las copias son menores.

Las áreas planas se multiplican por r² y los volúmenes por r³. En la ecuación de dimensión, r siempre es la razón de longitudes. Nombrar por separado lado, área y volumen evita confundir esas escalas.

Dadas finitas similitudes contractivas del espacio euclídeo, existe un único compacto no vacío F que satisface F=∪Sᵢ(F). Es su atractor: aplicar todas las reglas vuelve a dar el conjunto completo.

La distancia de Hausdorff compara dos compactos mirando cuánto queda cada punto del primero del segundo y viceversa. Si r es la mayor razón de contracción, la operación de unir imágenes reduce ese error como máximo por r. El teorema del punto fijo en el espacio completo de compactos explica existencia, unicidad y convergencia desde cualquier compacto inicial no vacío.

Un segmento se reconstruye con dos copias de razón un medio: 2(1/2)¹=1. Un cuadrado con cuatro copias de razón un medio da 4(1/2)²=1.

Para N copias de razón común r definimos la dimensión de similitud s por Nrˢ=1.

Todavía es un exponente del sistema, no una garantía automática de dimensión del atractor.

Si las razones son r₁,…,, la ecuación es .

Para N≥2 el lado izquierdo vale N en cero, disminuye continuamente y tiende a cero al crecer s: tiene una única solución positiva.

No sustituimos las razones por su promedio. Cada copia aporta su propio factor.

Para un conjunto acotado contamos N(ε), el número de cajas de lado ε necesarias para cubrirlo, con un convenio de cajas fijas o equivalentes. Si crece como ε⁻ᵈ, el cociente lnN(ε)/ln(1/ε) se acerca a d.

La dimensión de cajas es ese límite si existe. Si no existe distinguimos límite inferior y superior. Un ajuste sobre unos pocos tamaños de píxel solo estima un rango de escalas: no prueba lo que ocurre cuando ε tiende realmente a cero.

Fijamos un máximo δ para los diámetros de las piezas que cubren F. Para t>0 minimizamos la suma de diámetro elevado a t entre todas esas cubiertas: .

Al aumentar t aparece un umbral: debajo de la dimensión la medida de Hausdorff es infinita y encima es cero; justo en el umbral puede ser cero, finita positiva o infinita.

Definimos .

No hace falta que el conjunto sea autosemejante.

La condición de conjunto abierto pide un abierto no vacío acotado O con Sᵢ(O)⊆O y con las imágenes abiertas disjuntas dos a dos. En un sistema finito de similitudes contractivas euclídeas, garantiza que Hausdorff y cajas del atractor coincidan con s.

Las piezas cerradas pueden tocarse en bordes. No exigimos distancia positiva entre ellas. La prueba combina cubiertas de tamaño controlado con una distribución de masa que impide abaratar demasiado cualquier cubierta.

Si dos reglas producen exactamente la misma copia, contarlas como piezas independientes introduce una multiplicidad artificial. La ecuación de similitud pertenece a la presentación del sistema.

Sin condiciones que controlen solapamientos no deducimos la dimensión de Hausdorff contando nombres de reglas. El ejemplo más pequeño ya muestra el fallo.

Dimensión uno no obliga a longitud finita ni suavidad. Tener dimensión no entera tampoco es una definición universal de fractal: hay conjuntos irregulares de dimensión entera.

Todo conjunto numerable tiene dimensión de Hausdorff cero: se cubre su punto j con un diámetro tan pequeño que el coste sea menor que ε2⁻ʲ, y se suma. Pero un numerable denso en [0,1] tiene dimensión de cajas uno. Cantor, en cambio, tiene longitud cero y dimensión positiva aunque no sea numerable.