Variables, dependencia y concepto de función

Una copistería cobra 4 céntimos por página y 2 céntimos por preparar cada pedido. Con tres páginas, las copias cuestan 12 céntimos; al añadir la preparación, el total es 14. Con cinco páginas, hacemos la misma tarea y obtenemos 22 céntimos. Cambiamos el dato inicial y volvemos a aplicar la misma regla.

Llamamos entrada al dato que introducimos y salida al resultado que le corresponde. Aquí la entrada es el número de páginas y la salida es el precio en céntimos. Una función relaciona esas dos cantidades mediante una regla. La regla puede describirse con palabras; no necesita empezar con letras.

Ahora ponemos un nombre a la cantidad que cambia: x será el número de páginas. Cuatro céntimos por página dan 4x céntimos y la preparación añade 2.

La letra f nombra la función; f(x) nombra su salida cuando usamos la entrada x.

Considera las entradas −3, 0 y 3 y la regla «elevar al cuadrado». Las salidas son 9, 0 y 9. El −3 tiene una salida, el 0 tiene una salida y el 3 tiene una salida. Que dos flechas terminen en 9 no causa ningún problema.

La definición exige esto: cada entrada permitida tiene exactamente una salida. «Cada» descarta dejar entradas del dominio sin atender. «Una» descarta dar dos salidas diferentes a la misma entrada. No exige que entradas distintas produzcan resultados distintos.

Antes de decidir, hay que precisar qué asociamos. «Persona → sus números de teléfono» podría tener varios valores si la salida se entiende como un solo número. Elegir el teléfono principal, mediante un criterio que determine uno, cambia la regla y puede hacerla función.

Para la regla «multiplicar por 4 y añadir 2», hacemos una cuenta por entrada. Si entra 0, sale 2; si entra 1, sale 6; si entra 3, sale 14. Una tabla conserva esas parejas. Cada fila debe leerse de izquierda a derecha sin cambiar de fila a mitad de la lectura.

Escribimos una pareja como (entrada, salida). Así (3,14) dice que 3 produce 14, y no al revés. Los títulos y unidades de las columnas deciden qué representa cada número.

Una tabla finita solo declara las parejas que aparecen. Si conocemos además una fórmula válida para más entradas, podremos ampliar la tabla. Si no conocemos la regla, no queda garantizado lo que ocurrirá entre los datos o más allá de ellos.

Sustituimos la x por 3 y conservamos las otras operaciones: f(3) = 4·3 + 2 = 14. El paréntesis dice qué dato entra; no significa multiplicar la letra f por 3.

Si la x aparece varias veces, la reemplazamos en todos sus lugares. Con entradas negativas escribimos paréntesis: el cuadrado de (−2) es (−2)·(−2) = 4.

Seguimos el orden de las operaciones: agrupaciones, potencias, productos o divisiones y finalmente sumas o restas. También respetamos el nombre: conocer f no permite evaluar otra función g cuya regla no se ha dado.

La regla «dividir 1 entre x − 5» permite introducir 7: el denominador vale 2 y la salida es 1/2. No permite introducir 5: el denominador sería cero. No buscamos arreglar esa entrada con una salida inventada; la dejamos fuera.

El dominio es el conjunto de entradas permitidas. Los números reales incluyen enteros, fracciones, decimales y números como √2; escribimos ℝ para su conjunto. Si no se declara otro dominio y trabajamos en ℝ, buscamos las entradas para las que todas las operaciones existen: un denominador no puede ser cero y una raíz cuadrada necesita un número no negativo dentro.

El contexto puede restringir más que la cuenta. La fórmula de un precio podría aceptar −2 al operar, pero −2 páginas no es un pedido posible. Si contamos páginas completas, usamos enteros no negativos; si medimos una longitud, puede tener sentido admitir también valores intermedios.

Aplicamos x² a −2, −1, 0, 1 y 2. Obtenemos 4, 1, 0, 1 y 4. En esta lista de entradas, las salidas distintas son {0,1,4}. Una salida repetida se cuenta una sola vez al formar el conjunto.

El recorrido, también llamado imagen de la función, reúne todas las salidas obtenidas al usar todo su dominio. No basta con probar tres números si el dominio tiene infinitos. En el cuadrado sobre todos los reales, ninguna salida es negativa; además, cualquier y ≥ 0 se obtiene tomando x = √y.

Por las dos razones, su recorrido es [0,∞).

Cambiar el dominio puede cambiar el recorrido aunque conservemos la fórmula. Para x² con 1 ≤ x ≤ 3, la salida va de 1 a 9 y recorre todas las alturas intermedias. El conjunto de llegada es el conjunto donde declaramos que viven las salidas; puede contener valores que la función nunca alcance.

Dibujamos dos ejes. El horizontal corresponde a la entrada x; el vertical, a la salida y. El punto (3,6) se coloca buscando 3 horizontalmente y después la altura 6. Si las unidades son horas y kilómetros, dice que a las tres horas corresponden seis kilómetros.

La gráfica de una función está formada por todos los puntos (x,f(x)) con x en el dominio. Una línea vertical fija una misma entrada. Si encuentra dos puntos a diferentes alturas, esa relación daría dos salidas a esa entrada y no sería función de x.

Una horizontal pregunta otra cosa: qué entradas producen una salida dada. Puede cortar varias veces sin romper la definición. Al leer una gráfica, revisamos las unidades y las marcas de cada eje; el aspecto del trazo no reemplaza las coordenadas.

En cambio, «¿qué entrada produce 22?» deja x desconocida y fija la salida: 4x + 2 = 22.

Las entradas que producen una salida se llaman sus preimágenes. Puede haber una, varias o ninguna. En x², la salida 9 procede de −3 y 3; la salida 0 procede de 0; una salida negativa no procede de ninguna entrada real.

La unicidad en la definición habla de la salida después de fijar la entrada. No garantiza una única preimagen después de fijar la salida. Para comprobar una entrada recuperada, la sustituimos en la regla original y revisamos que pertenezca al dominio.