Las vibraciones de un disco no se describen solo con senos en una recta: la geometría del radio introduce otra ecuación. Vamos a reconocerla, construir una de sus soluciones término a término y ver por qué el centro y la frontera deciden qué soluciones sirven.
Si necesitas repasar:
1. Orden y variable desempeñan papeles diferentes
La ecuación de Bessel es 
. ν es un orden fijo; x recorre un intervalo positivo. Dividir por x² muestra los coeficientes 1/x y 1−ν²/x².
En x>0 es una ecuación lineal ordinaria de segundo orden y dos datos en un punto positivo determinan una solución. En cero los coeficientes divididos son singulares: no podemos aplicar allí ese teorema sin estudiar antes la conducta de las soluciones.
Cambiar el orden no es evaluar
Escribir las ecuaciones de orden cero y dos.
Orden cero
ν=0 da x²y″+xy′+x²y=0.Orden dos
ν=2 da x²y″+xy′+(x²−4)y=0.Interpretar
En ambas x sigue siendo variable; no se ha puesto x=0 ni x=2.
El orden elige una familia de soluciones.
J₂(3) significa orden dos evaluado en tres.
Un punto ordinario y otro singular
Comparar imponer datos en x=1 y en x=0.
En uno
Los coeficientes tras dividir son finitos y continuos alrededor de uno.
En cero
1/x no está definido y el teorema ordinario no se aplica.
Consecuencia
En el origen se seleccionan soluciones por su desarrollo y regularidad.
No todos los puntos admiten el mismo planteamiento inicial.
La ecuación sin dividir no autoriza a ignorar la singularidad.
2. Separar radio y ángulo produce la ecuación
Para −Δu=k²u, buscar u=R(r)Θ(θ) separa una ecuación angular Θ″+n²Θ=0. La periodicidad de una vuelta completa obliga a n entero; podemos tomar n≥0.
El caso k=0 requiere otra resolución; no se divide por k.
Un modo sin variación angular
Tomar Θ=1 y k=3.
Ángulo
Θ″=0 corresponde a n=0.Radio
r²R″+rR′+9r²R=0.Escala
x=3r da x²y″+xy′+x²y=0.
Es Bessel de orden cero con argumento 3r.
El tres multiplica el argumento; no es el orden.
Una vuelta completa restringe el ángulo
Comparar cos(2θ) y cos(θ/2).
Primera
Al aumentar θ en 2π, cos(2θ+4π)=cos(2θ).Segunda
cos(θ/2+π)=−cos(θ/2), que no coincide en general.Elegir
Para una función monovaluada en el disco el segundo modo no cumple periodicidad.
El orden entero viene de la geometría angular.
El modo seno se trata igual; n=0 aporta una constante angular.
3. La serie define J y deja leer cada coeficiente
Para n entero no negativo, 
. k cuenta términos y n fija el orden. Empieza con (x/2)ⁿ/n! y añade potencias separadas por dos.
El cociente de módulos consecutivos es |x|²/[4(k+1)(k+n+1)] y tiende a cero. La serie converge para todo x complejo y se deriva en compactos. Para ν real no negativo y x>0, la fórmula usa Γ(k+ν+1) en vez de (k+n)! y potencia 
.
Leer una serie de orden dos
Obtener los primeros términos de J₂.
k cero
(x/2)²/(0!·2!)=x²/8.k uno
−(x/2)⁴/(1!·3!)=−x⁴/96.k dos
+(x/2)⁶/(2!·4!)=x⁶/3072.
J₂(x)=x²/8−x⁴/96+x⁶/3072+O(x⁸).
El primer término no es uno si el orden es dos.
Ver por qué converge
Fijar n=1 y x=2.
Cociente
Los módulos consecutivos tienen razón 1/[(k+1)(k+2)].
Valores
Para k=0 es 1/2; para k=1, 1/6; después disminuye.Límite
La razón tiende a cero: la serie converge absolutamente.
No se necesita x pequeño para la convergencia de la serie completa.
Una truncación corta sí puede ser mala para x grande.
4. La ecuación determina los coeficientes a partir de una amplitud
En orden cero buscamos una solución par y=Σaₖx²ᵏ. Los dos primeros términos diferenciales aportan 4k²aₖx²ᵏ y x²y aporta aₖ₋₁x²ᵏ.
Otra elección de a₀ multiplica toda esta solución por una constante. Construir una solución regular por serie no produce automáticamente las dos soluciones independientes.
Calcular un término posterior
Encontrar el coeficiente de x⁶ de J₀.
Anterior
a₂=1/64.Recurrencia
a₃=−a₂/(4·3²)=−(1/64)/36.Reducir
a₃=−1/2304.
El coeficiente incluye signo y denominador completos.
La fila de k=3 de la definición da el mismo resultado.
Otra amplitud
Tomar a₀=2 y obtener hasta grado cuatro.
Primer coeficiente
a₁=−2/4=−1/2.Segundo
a₂=−(−1/2)/16=1/32.Comparar
2−x²/2+x⁴/32+⋯ es 2J₀.
La ecuación homogénea permite cualquier múltiplo.
La normalización J₀(0)=1 elige un múltiplo concreto.
5. La segunda solución importa si el dominio la permite
Para orden entero, J₋ₙ=(−1)ⁿJₙ: esa función no aporta una segunda solución independiente.
J₀→1, mientras Y₀ diverge como (2/π)ln x al acercarnos a cero por la derecha.
La acotación en el centro de un disco elimina Y; en un anillo no impone esa eliminación.
Una combinación acotada
Para orden cero, exigir que AJ₀+BY₀ sea acotada cerca de cero.
Primera parte
AJ₀ tiene límite finito A.
Segunda
Si B≠0, BY₀ diverge logarítmicamente y no puede cancelarla un término finito.
Condición
Por tanto B=0.
Queda AJ₀.
Acotada no significa amplitud uno: A aún depende de los datos.
El origen queda fuera
Resolver en el intervalo 2<x<5.
Coeficientes
No hay singularidad dentro del intervalo.
Base
Jν y Yν son independientes porque 2/(πx)≠0.Datos
Dos condiciones de frontera pueden requerir ambos coeficientes.
No descartamos Y por una divergencia en un punto que no está en el dominio.
Para n=1, J₋₁=−J₁ y no reemplaza a Y₁.
6. Los órdenes vecinos ayudan a derivar sin rehacer toda la serie
y 
.La segunda se refiere a derivar respecto de x, conservando ν.
Para n entero, la serie también da Jₙ(−x)=(−1)ⁿJₙ(x): orden par produce función par y orden impar, función impar. Una identidad con 1/x debe prolongarse por límite si queremos usar x=0.
Comprobar la identidad cerca de cero
Derivar los términos de J₀.
Derivar
J₀′=−x/2+x³/16−x⁵/384+⋯.Orden uno
La serie da J₁=x/2−x³/16+x⁵/384+⋯.Comparar
Los coeficientes coinciden con J₀′=−J₁.
El subíndice no se deriva: identifica otra función.
En cero ambas partes valen cero por continuidad.
Reconstruir un orden vecino
Usar la primera recurrencia con ν=1.
Sustituir
J₀+J₂=2J₁/x para x>0.Despejar
J₂=2J₁/x−J₀.Primeros términos
2J₁/x=1−x²/8+⋯ y J₀=1−x²/4+⋯; al restar empieza x²/8.
La constante se cancela y queda el comienzo correcto de J₂.
Para calcular el siguiente coeficiente hay que conservar suficientes términos.
7. La frontera convierte una familia continua en valores permitidos
En un disco de radio a, un modo regular de orden n tiene R(r)=AJₙ(kr).
es el ℓ-ésimo cero positivo, k=jₙ,ℓ/a y el autovalor de −Δ es k².La ecuación radial en forma simétrica es 
. Al multiplicar dos ecuaciones, restar e integrar, las fronteras regulares hacen desaparecer el borde.
El peso r proviene de la geometría polar.
Cambiar el tamaño del disco
Comparar radios a y 2a para el mismo cero j.
Primer disco
k=j/a y λ=j²/a².Segundo
k nuevo=j/(2a), la mitad.Autovalor
λ nuevo=j²/(4a²), la cuarta parte.
El tamaño afecta el argumento y la escala espectral.
No cambia cuál es el cero numerado dentro de la función estándar.
Ver el peso en una integral elemental
Comparar ∫₀³1 dr y ∫₀³r dr.
Sin peso
La primera integral mide la longitud radial y da tres.
Con peso
La segunda da [r²/2]₀³=9/2.Geometría
Al integrar también el ángulo, 2π·9/2=9π recupera el área del disco de radio tres.
La medida radial para el área incluye r.
Para la ortogonalidad radial, ese mismo factor aparece en el producto interior.
8. Oscilar, crecer y cambiar de dimensión producen familias distintas
.Es una expansión aditiva: cerca de ceros del coseno no se interpreta como un cociente con ese coseno. La envolvente principal decrece como x⁻¹/².
En tres dimensiones aparecen las esféricas 
. Estas jₙ son funciones, mientras jₙ,ℓ designa ceros: conviene leer los dos índices.
Leer la envolvente
Comparar la amplitud principal en x=10 y x=40.
Dependencia
La amplitud es proporcional a 1/√x.
Cociente
A(40)/A(10)=√(10/40)=1/2.Límite
Esto compara envolventes; no afirma Jν(40)=Jν(10)/2 porque cambió la fase.
La amplitud baja mientras la función sigue oscilando.
Una fórmula asintótica para orden fijo no es uniforme para cualquier orden creciente.
Distinguir una Bessel esférica
Usar J₁/₂(x)=√(2/(πx))sin x en x>0.
Relación
j₀(x)=√(π/(2x))J₁/₂(x).Multiplicar
Las raíces dan 1/x: j₀(x)=sin x/x.Centro
Su límite en cero es uno, así se prolonga regularmente.
j₀ esférica no es J₀ cilíndrica.
Sus series empiezan 1−x²/6 y 1−x²/4, respectivamente.
9. Una aproximación corta necesita una cota del resto
En J₀ los términos son alternos. Si sus módulos decrecen hasta cero, el error tras cortar tiene módulo como máximo el primer término omitido. El cociente x²/[4(k+1)²] permite comprobar esa condición desde el índice elegido.
Cortar tras 1−x²/4 da 0,99 y error de módulo como máximo x⁴/64=0,000025. La serie exacta continúa: 0,99 es el polinomio aproximante, no el valor exacto de J₀.
Obtener un intervalo numérico
Aproximar J₀(1) con tres términos.
Sumar
1−1/4+1/64=49/64=0,765625.Omitido
El siguiente término es −1/2304 y los módulos decrecen.
Encerrar
J₀(1) está entre 49/64−1/2304 y 49/64.
El error no supera 1/2304.
El signo del primer omitido también indica por qué el corte queda por encima.
Un corte inicial poco útil
Intentar usar solo 1−x²/4 en x=10.
Cociente
El primer cociente de módulos es 25: los términos iniciales crecen.
Aproximación
El corte da −24, lejos de una garantía de precisión.
Decidir
La convergencia de la serie completa no valida una cota alterna aplicada sin revisar sus hipótesis.
Hay que elegir otro corte o método para evaluar con control.
Convergencia y precisión de dos términos son preguntas diferentes.
10. Derivada nula y valor nulo eligen ceros diferentes
Para A≠0 y k>0 se eligen ceros de la derivada. k=0 se estudia aparte: en orden cero puede aparecer un modo constante.
Dos bordes de Dirichlet producen un sistema homogéneo en A,B; hay solución no nula cuando 
. La ecuación espectral depende de ambas fronteras.
Una frontera que mira la pendiente
Orden cero, radio a, Neumann y k>0.
Derivar
R′(a)=AkJ₀′(ka).Identidad
J₀′=−J₁ transforma la condición en J₁(ka)=0.Comparar
Dirichlet habría exigido J₀(ka)=0: son ceros diferentes.
Cambiar la condición física cambia los valores permitidos.
El modo constante k=0 no se pierde al estudiarlo separadamente.
Dos paredes de un anillo
Escribir las condiciones R(a)=R(b)=0.
Primera fila
AJₙ(ka)+BYₙ(ka)=0.Segunda
AJₙ(kb)+BYₙ(kb)=0.Compatibilidad
Para no quedarnos solo con A=B=0, el determinante de estas dos filas debe anularse.
En un anillo no basta con buscar un cero aislado de Jₙ.
Cada fila evalúa la misma combinación en un radio distinto.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Primeros términos de J₀
Obtén los términos hasta x⁴ de J₀ usando la serie.
Fijar el orden
En J₀ tomamos n=0.Índice cero
El término es uno.
Índice uno
−(x/2)²/(1!·1!)=−x²/4.Índice dos
+(x/2)⁴/(2!·2!)=x⁴/64.Reunir
J₀=1−x²/4+x⁴/64+O(x⁶).Comprobar
La recurrencia aₖ=−aₖ₋₁/(4k²) reproduce ambos coeficientes.
J₀(x)=1−x²/4+x⁴/64+O(x⁶).
La recurrencia4k²aₖ+aₖ₋₁=0 produce a₁=−1/4 y a₂=1/64 de manera independiente.
EJEMPLO RESUELTO 2
Valor regular de orden uno
Calcula J₁(0) y el coeficiente de x en su expansión.
Fijar el orden
En J₁ ponemos n=1.Primer término
k=0 aporta (x/2)/(0!·1!)=x/2.Segundo
k=1 aporta −(x/2)³/(1!·2!)=−x³/16.Centro
Todos los términos contienen x: la serie converge en cero y vale cero.
Coeficiente
El coeficiente lineal es 1/2.
Comprobar
J₀′=−J₁ confirma ambos datos con la serie anterior.
J₁(0)=0; coeficiente lineal 1/2.
J₀′=−J₁ y J₀′(x)=−x/2+O(x³), confirmando el coeficiente y el valor en cero.
Los símbolos que hemos usado
- ν
- Orden: parámetro que identifica la ecuación, distinto de la variable x.
- Función de Bessel de primera especie y orden ν, evaluada en x.
- Segunda solución estándar, independiente en x>0.
- n
- Orden entero no negativo en los ejemplos de series.
- k-ésimo cero positivo de J de orden n.
- Γ
- Función gamma; Γ(m+1)=m! para enteros m≥0.
- Resto de módulo como máximo C|x|ᵐ cerca de cero, para alguna constante C.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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