Polinomios de Legendre y Hermite

Elegimos un intervalo I y un peso w positivo casi en todas partes, con los momentos necesarios finitos. Para polinomios reales, . Su norma cuadrada es esa integral con p=q y es positiva si p no es cero.

Una familia pₙ tiene grado n y es ortogonal si el producto interior de grados diferentes vale cero. No hace falta que el producto sea cero en cada punto: pueden cancelarse regiones de signos opuestos. La normalización determina la escala de cada polinomio.

Gram–Schmidt empieza con 1,x,x²,… Al llegar a xⁿ restamos . El resultado conserva el coeficiente principal y queda perpendicular a todos los grados anteriores.

Fijar coeficiente principal uno produce una familia mónica. Dividir por la norma produce otra ortonormal. Para una medida con soporte finito puede agotarse el proceso; la positividad de un peso en un intervalo evita que un polinomio no nulo tenga norma cero.

P₀=1, P₁=x, P₂=(3x²−1)/2, y .

No son ortonormales con esta convención.

Rodrigues da .

Integrar n veces por partes contra un polinomio de grado menor que n elimina la derivada final de este. Los bordes se anulan porque (x²−1)ⁿ tiene ceros de orden n en ±1.

Hermite físico Hₙ usa ℝ, peso e⁻ˣ², H₀=1, H₁=2x y coeficiente principal 2ⁿ.

Rodrigues es y la norma cuadrada vale √π·2ⁿn!.

Hermite probabilístico Heₙ es mónico y usa e⁻ˣ²/².

Se relacionan por .

Las dos convenciones se conectan cambiando amplitud y argumento.

xpₙ tiene grado n+1 y se expande en p₀,…,pₙ₊₁. Si k≤n−2, porque xpₖ tiene grado menor que n. Solo quedan los grados n+1,n,n−1.

Las dos necesitan los valores iniciales; sus coeficientes corresponden a normalizaciones diferentes.

Legendre cumple .

Hermite físico cumple .

La segunda lleva el mismo peso gaussiano en la ecuación y en la integral.

Para dos grados distintos multiplicamos la primera ecuación por el otro polinomio, restamos e integramos. La diferencia de autovalores multiplica el producto interior. Los bordes desaparecen: en Legendre por 1−x² y en Hermite por el exponencial frente a polinomios. Así el producto interior debe valer cero.

Para f∈L²(I,w), su mejor aproximación de grado ≤N es , con hₙ=⟨pₙ,pₙ⟩w. El residuo es perpendicular al espacio utilizado.

Si q es otro polinomio del mismo espacio, Pitágoras da : prueba minimalidad y unicidad. En Legendre los polinomios son densos y en norma. En un intervalo infinito, momentos finitos solos no garantizan densidad; y converger en norma no promete converger en cada punto.

Con peso positivo en un intervalo y momentos finitos, pₙ tiene n ceros simples en el interior. Si tuviera menos cambios de signo, multiplicarlo por los factores de esos cambios daría un polinomio de menor grado cuyo producto con pₙ tendría signo fijo e integral no nula: contradice ortogonalidad.

En los n ceros se construye una cuadratura de Gauss con pesos positivos exacta hasta grado 2n−1. Para verlo, dividimos cualquier polinomio f de ese grado como f=pₙq+r con grados de q y r menores que n. La integral del primer término es cero; interpolar r en los nodos da la regla.

Para funciones generales hace falta estudiar el error.

Chebyshev de primera especie usa [−1,1] y peso (1−x²)⁻¹/². Laguerre estándar usa [0,∞) y e⁻ˣ. Cambiar el peso cambia qué errores y cancelaciones mide el producto interior.

Antes de aplicar una fórmula declaramos intervalo, peso y normalización. En intervalos infinitos también comprobamos integrabilidad. No se traslada automáticamente una norma de Legendre a Hermite, aunque los dos sean polinomios ortogonales.

La parte de grado dos es exactamente el residuo al aproximar x² con una constante; conservar ambos términos recupera la función completa.

Los dos ceros de P₂ son ±1/√3 y la cuadratura Gauss–Legendre usa peso uno en cada nodo. Integra grados hasta tres, por linealidad y comprobación de las potencias básicas. Un grado mayor puede coincidir por casualidad, pero no hay garantía general.