Distancias, ángulos, áreas y volúmenes

Para un punto P y una recta, buscamos entre todos los puntos Q de la recta el que minimiza ‖P − Q‖. Ese punto H es el pie perpendicular. Si P ya está en la recta, el mínimo es cero. Para un plano ocurre lo mismo, con una perpendicular normal al plano.

¿Por qué es el menor? Para otro Q de la figura, PH es perpendicular a HQ. Pitágoras da PQ² = PH² + HQ², que no puede ser menor que PH². No basta decir «el segmento parece corto» en un dibujo: la perpendicularidad lo justifica.

Dividir por ‖n‖ toma la componente en la dirección normal unitaria, y el valor absoluto quita el signo del lado: d(P,r) = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).

Para el plano ax + by + cz + d = 0, la misma idea añade una componente: distancia = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²). Los coeficientes de normal no pueden ser todos cero. El numerador con signo distingue lados; la distancia es no negativa.

Para una figura de ecuación n · X + d = 0 y un punto P, su pie es H = P − [(n · P + d)/(n · n)]n. El término restado es la componente normal vectorial. La fórmula vale para rectas del plano y planos del espacio con normal no nula.

Comprobamos dos cosas: H satisface la ecuación de la figura y P − H es paralelo a n. Entonces el segmento es perpendicular. Su módulo debe coincidir con la fórmula de distancia; así enlazamos álgebra y geometría.

El numerador es el área del paralelogramo de esos dos vectores; dividir entre la base ‖u‖ deja la altura perpendicular.

Si se cortan da cero; si son alabeadas mide la perpendicular común. Para rectas paralelas, la cruz del denominador es cero: usamos distancia de un punto de una a la otra.

Si dos planos tienen normales paralelas, reescribimos sus ecuaciones con exactamente el mismo vector n: n · X + d₁ = 0 y n · X + d₂ = 0. Su distancia es |d₂ − d₁|/‖n‖. Restar constantes sin igualar antes la escala puede dar un resultado falso.

Si los planos no son paralelos, se cortan y su distancia mínima es cero. La fórmula anterior solo corresponde al caso paralelo, incluido el caso coincidente donde las dos constantes también son iguales.

Para el ángulo menor α entre rectas, usamos cos α = |u · v|/(‖u‖‖v‖). Para dos planos, usamos el mismo cociente con sus normales. Los valores absolutos hacen que invertir una dirección no cambie el ángulo menor entre figuras no orientadas.

Para una recta de director u y un plano de normal n, el ángulo α con el plano es complementario al ángulo agudo con n.

Da cero si la dirección es paralela al plano y 90° si es paralela a su normal. Todos los vectores de estas fórmulas deben ser no nulos.

Para tres puntos A,B,C formamos AB y AC. El área del paralelogramo es ‖AB × AC‖; la del triángulo, su mitad. En el plano podemos añadir una tercera componente cero para usar la misma fórmula.

Dos lados de longitudes conocidas no bastan sin el ángulo o la altura correspondiente. El producto escalar no da por sí solo el área: la cruz incorpora el seno del ángulo, y su módulo es no negativo.

El volumen de un paralelepípedo de aristas u,v,w desde un origen común es |u · (v × w)|. La cruz mide base y orientación normal; el producto escalar toma la altura con signo. El valor absoluto convierte ese volumen orientado en una medida.

Para el tetraedro de vértices A,B,C,D usamos u = AB, v = AC, w = AD y dividimos entre seis. No sustituimos directamente coordenadas absolutas de B,C,D si A no es el origen. Volumen cero indica dependencia de direcciones, por ejemplo cuatro puntos coplanares.

Multiplicar una ecuación por un factor no nulo cambia numerador y norma de normal por el mismo factor en valor absoluto; la distancia queda igual. Para un pie comprobamos pertenencia y dirección normal. Para ángulos revisamos si se pidió figura–figura o vector–vector, y la unidad angular.

Las distancias son longitudes, áreas unidades cuadradas y volúmenes cúbicas. Distancia cero entre dos figuras solo indica que pueden tocarse o intersectarse en estos casos; no implica que coincidan por completo. Es una pregunta distinta de su clasificación.