Dos figuras pueden tener un punto en común, muchos o ninguno. No siempre hay un único corte que calcular. Empezaremos con rectas del plano y después añadiremos la tercera dimensión, donde aparecen rectas que no son paralelas y aun así no se encuentran. Cada clasificación tendrá una comprobación concreta.
Si necesitas repasar:
1. Antes de resolver un corte admitimos los distintos tipos de respuesta
Dos rectas pueden coincidir por completo, ser paralelas distintas o encontrarse en un punto. En el espacio también pueden cruzarse sin cortarse: son rectas alabeadas. Un cálculo que acaba en una contradicción puede estar indicando ausencia de corte, no una operación sin terminar.
Para una recta y un plano, las opciones son un punto, toda la recta contenida o ningún punto común. Para dos planos, pueden coincidir, ser paralelos distintos o intersectarse en una recta. El tipo de figura guía qué respuesta esperamos.
Más de un punto común entre rectas
Dos rectas distintas del plano supuestamente comparten dos puntos diferentes. ¿Es posible?
Dos puntos distintos
Determinan una única recta.
Consecuencia
Ambas rectas tendrían que ser esa misma.
Clasificación
Si comparten dos puntos diferentes, coinciden.
No pueden seguir siendo distintas.
No se buscan solo esos dos puntos: el conjunto común sería la recta completa.
Una contradicción tiene significado
Al resolver el corte de dos rectas se obtiene 1 = 4.
Igualdad imposible
Ningún valor de las incógnitas la satisface.
Lectura del sistema
No hay punto común.
Falta una pieza
Para decir paralelas o alabeadas en el espacio todavía miramos las direcciones.
La intersección está vacía.
No sustituimos la contradicción por una coordenada arbitraria.
2. En el plano comparamos dirección y después posición
Si dos rectas del plano tienen directores no paralelos, se cortan en un punto. Si sus directores son paralelos, probamos un punto de una en la otra: si pertenece, coinciden; si no, son paralelas distintas.
Para formas explícitas y = m₁x + b₁ e y = m₂x + b₂, pendientes distintas dan un corte; igual pendiente e igual ordenada dan coincidencia; igual pendiente y distinta ordenada, paralelas distintas. Las verticales se comparan con x = constante, sin inventar una pendiente finita.
Un único corte
Clasifica y = x + 1 e y = 3x − 3 y halla el punto común.
Pendientes
Uno y tres: diferentes.
Igualamos
x + 1 = 3x − 3: x = 2.Altura
y = 3.
Secantes en (2; 3).
El punto devuelve tres en ambas fórmulas.
Dos verticales
Clasifica x = 2 y x = 5.
Dirección
Ambas tienen director (0; 1).
Posición
Ningún x puede valer dos y cinco a la vez.
Conclusión
Paralelas distintas.
Paralelas distintas.
La falta de pendiente finita no impide clasificarlas.
3. En el espacio cada recta conserva su propio parámetro
Para un punto común igualamos las tres componentes, pero no exigimos t = q. Los parámetros miden recorridos que pueden empezar en otros puntos y usar otras escalas.
Si u y v son paralelos, la diferencia B − A decide si las rectas coinciden: debe ser paralela a u. Si no lo es, son paralelas distintas. Si los directores no son paralelos, aún necesitamos comprobar el corte o la coplanaridad.
Parámetros diferentes en el mismo punto
r(t) = (t; 0; t), s(q) = (1; q; 1). Halla el corte.
Componente x
t = 1.Componente y
q = 0.Componente z
Con t = 1 coincide la altura uno.
Corte (1; 0; 1), con t = 1 y q = 0.
Imponer t = q habría eliminado incorrectamente ese punto.
Directores paralelos pero rectas distintas
r(t) = (t; t; t), s(q) = (1; 0; 0) + q(2; 2; 2).
Directores
El segundo es dos veces (1; 1; 1).
Diferencia de bases
(1; 0; 0) no es múltiplo de (1; 1; 1).
Conclusión
No coinciden.
Paralelas distintas.
En r las tres coordenadas siempre son iguales; en el punto base de s no.
4. No paralelas: un producto mixto comprueba si están en un mismo plano
En ese caso, al no ser paralelas, se cortan. Si el mixto no es cero, son alabeadas: tienen distintas direcciones y ningún punto común.
Una está a altura cero y otra a altura uno, así que no pueden compartir coordenadas completas. La tercera dimensión permite este caso que no existe en el plano.
Reconocer rectas alabeadas
Clasifica las dos rectas del dibujo mediante el mixto.
Direcciones
u = (1; 0; 0), v = (0; 1; 0).Cruz
u × v = (0; 0; 1).Bases
B − A = (0; 0; 1): el producto mixto vale uno.
Son alabeadas.
La contradicción z = 0 y z = 1 confirma que no hay corte.
Mixto cero con direcciones no paralelas
r(t) = (t; 0; 0), s(q) = (0; q; 0).
Cruz de directores
(0; 0; 1), no nula.
Misma base
B − A = 0, así que el mixto es cero.Corte
t = q = 0 da el origen.
Secantes en (0; 0; 0).
El mixto cero se combina con la condición de directores no paralelos.
5. Sustituir la recta en el plano reúne los tres casos en una ecuación
Es una ecuación lineal en t: sus dos coeficientes explican todos los casos.
Si n · u = 0 y n · A + d = 0, todos los t sirven: la recta está contenida. Si n · u = 0 y el término constante no es cero, no hay solución y la recta es paralela distinta del plano.
Corte único
Recta (1 + t; −1; 4 − t), plano z = 2.
Sustituimos
4 − t = 2.Parámetro
t = 2.Punto
(3; −1; 2).
Se cortan en (3; −1; 2).
La altura cumple el plano y las otras coordenadas usan el mismo t.
Dirección paralela: decidir contenido o separación
Plano x + y + z = 1. Compara r(t) = (t; 1 − t; 0) y s(t) = (t; 2 − t; 0).
En r
x + y + z = 1 para todo t.En s
La suma es dos para todo t, nunca uno.
Clasificación
r está contenida; s es paralela sin puntos comunes.
Misma dirección, distinta relación con el plano.
El punto base aporta la información que faltaba al producto n · u = 0.
6. Dos normales no paralelas producen una recta de intersección
Si las normales de dos planos no son paralelas, su intersección es una recta y su director puede tomarse como n₁ × n₂. Para hallar un punto resolvemos las dos ecuaciones, dejando una libertad. No fijamos una coordenada imposible solo por costumbre.
Si las normales son proporcionales, revisamos la ecuación completa: constantes con el mismo factor dan el mismo plano; con otro factor, planos paralelos distintos. Comparar solo los coeficientes de x, y, z no decide coincidencia.
Una recta común a dos planos
Interseca x + y + z = 1 y x − y + z = 1.
Restamos
2y = 0: y = 0.Condición restante
x + z = 1.Paramétrica
x = t, y = 0, z = 1 − t.
Intersección (t; 0; 1 − t).
Su director (1; 0; −1) es perpendicular a las dos normales.
Proporcionalidad completa
Compara x + y + z = 1 con 2x + 2y + 2z = 2 y con 2x + 2y + 2z = 4.
Primera comparación
Dividir la segunda ecuación entre dos recupera la primera.
Otra constante
La tercera se vuelve x + y + z = 2.Conclusión
La primera pareja coincide; la otra es paralela distinta.
Coincidentes en el primer caso; paralelos distintos en el segundo.
El factor debe afectar también al término independiente.
7. Perpendicularidad de direcciones y posición común son comprobaciones diferentes
En el plano, dos rectas con directores ortogonales se cortan y son perpendiculares. En el espacio, directores ortogonales pueden pertenecer a rectas alabeadas: hay que precisar si se habla solo del ángulo entre direcciones o de rectas que además se cortan.
Una recta es perpendicular a un plano si su director es paralelo a la normal. Dos planos son perpendiculares si sus normales lo son. Con varias figuras, las relaciones por parejas no sustituyen resolver una condición común a todas.
Direcciones ortogonales sin encuentro
r(t) = (t; 0; 0) y s(q) = (0; q; 1).
Directores
(1; 0; 0) y (0; 1; 0): producto cero.
Posición
Sus alturas son distintas.
Descripción precisa
Tienen direcciones ortogonales, pero no se cortan.
Son alabeadas con ángulo de direcciones 90°.
No se declara un punto de perpendicularidad que no existe.
Tres planos: pares secantes sin punto común
Considera x = 0, y = 0 y x + y = 1 en ℝ³.
Por parejas
Cada pareja se corta en una recta paralela al eje z.
Los dos primeros juntos
Exigen x = y = 0.Tercero
Entonces x + y = 0, que no es uno.
Los tres no tienen punto común.
Los cortes por parejas no aseguran una intersección simultánea de todos.
8. Una clasificación se acompaña de la igualdad o contradicción que la prueba
Al informar un corte damos el punto o la recta y lo sustituimos en todas las figuras. Al informar paralelismo distinguimos coincidencia de separación. Al informar rectas alabeadas explicamos no paralelismo y falta de coplanaridad o una contradicción en las coordenadas.
No dividimos por componentes que pueden ser cero para comparar razones; las ecuaciones vectoriales, la cruz y el sistema siguen siendo válidos. La respuesta es una relación geométrica justificada, no solo un valor de un parámetro.
Directores distintos numéricamente, misma recta
r(t) = (1; 2; 0) + t(2; 0; 0), s(q) = (1; 2; 0) + q(−1; 0; 0).
Punto compartido
Ambas parten de (1; 2; 0).
Direcciones
(−1; 0; 0) = −1/2(2; 0; 0).Cobertura
x recorre todos los reales en las dos.
Las rectas coinciden.
No tener el mismo vector escrito no implica tener distinta dirección geométrica.
Sustituir el conjunto completo de corte
Se propone (t; 0; 1 − t) como intersección de x + y + z = 1 y x − y + z = 1.
Primera ecuación
t + 0 + 1 − t = 1.Segunda
t − 0 + 1 − t = 1.Para todo t
Ambas se cumplen para cualquier real.
La recta propuesta está contenida en los dos planos.
Las normales no paralelas y la única libertad justifican que sea la intersección completa.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Corte recta-plano
Recta (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,2,1); plano z=3. Halla el corte.
Paramétrica
x = 1 + t; y = 2t; z = t.Sustituimos en el plano
z = 3 exige t = 3.Punto
(1 + 3; 6; 3) = (4; 6; 3).Comprobación
Usa t = 3 en las tres coordenadas y tiene altura tres.
(4,6,3).
El punto cumple recta y plano.
EJEMPLO RESUELTO 2
Dos rectas del plano
Clasifica y=2x+1 y y=2x−3.
Pendientes
Ambas son dos.
Ordenadas
Una vale uno y otra menos tres.
Intento de corte
2x + 1 = 2x − 3 llevaría a 1 = −3.Clasificación
Paralelas distintas, sin punto común.
Paralelas distintas.
No hay ninguna entrada con iguales salidas.
Los símbolos que hemos usado
- r:P+tv
- Recta de punto base P y director no nulo v.
- s:Q+uw
- Otra recta con parámetro independiente u y director w≠0.
- π:n·X+D=0
- Plano de normal n no nula.
- α=n·v
- Coeficiente del parámetro al sustituir la recta en el plano.
- β=n·P+D
- Valor de la ecuación del plano en el punto base.
- Alabeadas
- Rectas espaciales no paralelas que no tienen punto común y no son coplanarias.
- Intersección
- Conjunto de puntos que pertenecen simultáneamente a las figuras.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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