En el plano, una ecuación lineal no trivial suele dibujar una recta. En el espacio, una sola ecuación como z = 4 deja moverse en dos direcciones y dibuja un plano. Veremos qué determina una recta y qué determina un plano antes de cambiar entre sus representaciones.
Si necesitas repasar:
1. Contamos libertades, no solo cuántas letras aparecen
Un punto espacial tiene tres coordenadas, pero una figura contiene muchos puntos. La condición z = 4 fija altura y deja libres x e y: un plano. Las dos condiciones x = 1 e y = 2 dejan libre solo z: una recta. Un punto fijo requiere fijar las tres.
En una ecuación lineal ax + by + cz + d = 0, si (a; b; c) no es cero, los puntos forman un plano. Dos ecuaciones independientes pueden describir una recta como intersección. Ecuaciones repetidas no quitan una libertad nueva.
Altura fija
¿Qué describe z = 4 en ℝ³?
Coordenada fijada
z.
Coordenadas libres
x e y pueden ser cualesquiera reales.
Figura
Plano horizontal.
Un plano, no una sola recta.
(0; 0; 4), (1; 0; 4) y (0; 1; 4) son puntos del mismo plano no alineados.
Dos coordenadas fijas
¿Qué describe x = 1, y = 2?
Fijas
Primera coordenada uno y segunda dos.
Libre
z = t, con t real.Paramétrica
(1; 2; t).
Una recta paralela al eje z.
La tercera coordenada puede cambiar sin salir de la figura.
2. Una recta espacial usa un punto y un director no nulo
La forma X = A + tu funciona igual que en el plano, ahora con tres componentes.
El mismo t decide las tres coordenadas.
t puede ser negativo, cero o positivo. La dirección debe ser no nula: si u = 0, todos los valores de t repetirían A y no obtendríamos una recta. Cambiar u por un múltiplo no nulo conserva el conjunto.
Evaluar un punto de la recta
En X = (1; 0; 2) + t(2; 1; −1), toma t = −1.
Escalar
−u = (−2; −1; 1).Sumamos al punto
(1; 0; 2) + (−2; −1; 1).
Resultado
(−1; −1; 3).
(−1; −1; 3).
El parámetro negativo recorre el sentido contrario del director.
Recta paralela al eje vertical
Da una paramétrica para los puntos con x = 1, y = 2.
Punto
A = (1; 2; 0).Director
u = (0; 0; 1).Expresión
X = (1; 2; 0) + t(0; 0; 1).
X = (1; 2; t).
El punto para t = 0 es A y la tercera coordenada recorre todos los reales.
3. Dos puntos distintos dan un director; las componentes cero se conservan como igualdades
Después podemos escribir la forma vectorial, la paramétrica y, si los denominadores lo permiten, la continua: (x − aₓ)/uₓ = (y − aᵧ)/uᵧ = (z − a_z)/u_z.
Si alguna componente es cero, fijamos esa coordenada y no dividimos entre cero. Para puntos coincidentes no se obtiene un director no nulo ni una recta única: hace falta más información.
Desde dos puntos
A = (1; 1; 0), B = (3; 0; 2). Halla una recta por ambos.
Director
B − A = (2; −1; 2).Vectorial
X = (1; 1; 0) + t(2; −1; 2).Continua
(x − 1)/2 = (y − 1)/(−1) = z/2.
La recta indicada por esas formas equivalentes.
t = 0 da A y t = 1 da B.
Una componente cero
A = (2; 1; 3), u = (0; 2; −1). Escribe sin divisiones inválidas.
Coordenada fija
x = 2.Otras relaciones
y = 1 + 2t; z = 3 − t.Forma sin t
x = 2 y (y − 1)/2 = (z − 3)/(−1).
x = 2 junto con (y − 1)/2 = (z − 3)/(−1).
La primera coordenada no se escribe como (x − 2)/0.
4. Un plano necesita dos direcciones independientes
Si u y v no son paralelos, X = A + su + tv, con s y t reales independientes, recorre un plano. Podemos movernos en dos direcciones. El punto A coloca ese plano en el espacio.
Si las dos direcciones son paralelas, sus combinaciones siguen en una sola recta y no determinan un plano.
No se exige que u y v sean perpendiculares.
Evaluar dos parámetros
X = (0; 0; 1) + s(1; 0; 1) + t(0; 1; 1). Toma s = 2 y t = −1.
Primer múltiplo
(2; 0; 2).
Segundo
(0; −1; −1).
Sumamos con A
(2; −1; 2).
(2; −1; 2).
Las componentes generales son (s; t; 1 + s + t).
Dos direcciones que no bastan
¿A + s(1; 1; 0) + t(2; 2; 0) define un plano?
Dependencia
El segundo vector es dos veces el primero.
Agrupamos
A + (s + 2t)(1; 1; 0).
Figura
Solo una dirección independiente.
Describe una recta, no un plano.
Tener dos letras de parámetro no garantiza dos libertades si sus efectos son dependientes.
5. Punto y normal dan una ecuación general de plano
Una normal n = (a; b; c), no nula, es perpendicular a todos los desplazamientos del plano.
Al desarrollar obtenemos ax + by + cz + d = 0, con d elegido para que A pertenezca.
Los coeficientes a, b, c son los de una normal, no las coordenadas de un punto del plano. Multiplicar toda la ecuación por un número no nulo conserva el plano. Si a = b = c = 0, la igualdad constante resultante no define un plano ordinario.
Una ecuación desde datos
Plano por A = (1; 2; 0), normal n = (2; −1; 3).
Producto
2(x − 1) − (y − 2) + 3z = 0.Desarrollamos
2x − 2 − y + 2 + 3z = 0.Resultado
2x − y + 3z = 0.
2x − y + 3z = 0.
A satisface 2 − 2 + 0 = 0.
Recuperar la constante
Halla d para que x + 2y − z + d = 0 pase por (1; 1; 4).
Sustituimos
1 + 2 · 1 − 4 + d = 0.Simplificamos
−1 + d = 0.Constante
d = 1.
d = 1.
1 + 2 − 4 + 1 = 0.
6. Tres puntos no alineados permiten construir direcciones y una normal
Si u × v no es cero, esa cruz es una normal al plano por los tres puntos. Podemos usarla en la ecuación general o conservar las dos direcciones en la paramétrica.
No restamos puntos de forma arbitraria sin mantener su papel: usar el mismo origen hace visible que las dos direcciones salen de A. Si los tres puntos son alineados, infinitos planos contienen esa recta y no queda uno único.
Tres puntos a la misma altura
A = (1; 0; 1), B = (2; 0; 1), C = (1; 2; 1).
Direcciones
AB = (1; 0; 0), AC = (0; 2; 0).Normal
AB × AC = (0; 0; 2), no nula.Ecuación
2(z − 1) = 0: z = 1.
El plano es z = 1.
Los tres puntos tienen esa altura y no están alineados.
Alineados
A = (0; 0; 0), B = (1; 1; 1), C = (2; 2; 2).
Direcciones
AC = 2AB.Cruz
Cero.
No unicidad
Los tres están en una misma recta; diferentes planos pueden contenerla.
No determinan un plano único.
La cruz cero es un diagnóstico de los datos, no una normal válida para un plano único.
7. Comprobamos todas las coordenadas con el mismo parámetro
Para pertenecer a una recta paramétrica, un punto debe corresponder a un mismo valor de t en las tres componentes. Para pertenecer a un plano general, su sustitución completa debe dar cero. Cumplir una sola coordenada o un solo término no basta.
En un plano paramétrico buscamos una pareja (s; t) que funcione simultáneamente. El cálculo de pertenencia es una igualdad de puntos, no solo una coincidencia de módulos o de alguna dirección.
Coinciden dos coordenadas, falla la tercera
Recta (1 + 2t; −t; 3 + t). ¿Pertenece (5; −2; 6)?
Desde x
t = 2.Desde y
También t = 2.Tercera con t = 2
z = 5, no seis.
No pertenece.
El punto (5; −2; 5) sí pertenece.
Pertenencia a plano
¿Pertenece (2; 3; 5) a x + y − z = 0?
Sustituimos
2 + 3 − 5.
Valor
Cero.
Conclusión
Cumple la condición completa.
Sí pertenece.
La normal (1; 1; −1) no es el punto; sirve para definir la condición.
8. Las representaciones preparan cortes y relaciones de dirección
Un director u de una recta es paralelo a las direcciones de un plano si n · u = 0. Para saber si la recta está contenida o queda fuera hay que comprobar además su punto base. Una dirección compatible no decide por sí sola la posición.
También podemos describir una recta como intersección de dos planos de normales independientes. Para hallar el corte de recta y plano sustituimos las tres coordenadas paramétricas en la ecuación del plano; queda una ecuación en t.
Un corte vertical
Recta (1; 2; t) y plano z = 0.
Sustituimos
La coordenada z de la recta es t.
Condición del plano
t = 0.Punto
(1; 2; 0).
Se cortan en (1; 2; 0).
Se comprueba en las tres coordenadas y en el plano.
Dos planos que describen una recta
Escribe x = 2, y = 1 + 2t, z = 3 − t como intersección de planos.
Primera condición
x = 2.Eliminamos t de y y z
y + 2z = 1 + 2t + 6 − 2t = 7.Independencia
Las normales (1; 0; 0) y (0; 1; 2) no son paralelas.
x = 2 y y + 2z = 7.
Tomar t = 3 − z recupera y = 1 + 2t, por lo que no se han añadido puntos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Plano coordenado desplazado
Halla el plano por (0,0,4) de normal (0,0,1).
Punto y normal
A = (0; 0; 4), n = (0; 0; 1).Producto
0(x − 0) + 0(y − 0) + 1(z − 4) = 0.Ecuación
z = 4.Interpretación
x e y quedan libres; todos los puntos conservan altura cuatro.
z=4.
Cada punto del plano tiene altura 4.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una recta
Recta X=(1,2,0)+t(2,−1,3). Halla el punto para t=2.
Escalar del director
2(2; −1; 3) = (4; −2; 6).Sumamos al punto base
(1; 2; 0) + (4; −2; 6).
Resultado
(5; 0; 6).
Comprobación
El desplazamiento es dos veces el director dado.
(5,0,6).
El desplazamiento desde el punto base es 2 veces el director.
Los símbolos que hemos usado
- X=(x,y,z)
- Punto variable del espacio cartesiano.
- P₀=(x₀,y₀,z₀)
- Punto conocido de una recta o plano.
- v
- Vector director no nulo de una recta.
- t, s
- Parámetros reales independientes cuando describen dos direcciones de un plano.
- n=(A,B,C)
- Normal no nula de un plano.
- Ax+By+Cz+D=0
- Ecuación general de un plano con (A,B,C)≠(0,0,0).
- u×v
- Producto vectorial, que produce una normal si u y v no son paralelos.
- Independientes
- Direcciones que no son múltiplos entre sí y generan una región plana.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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