Triángulos, cuadriláteros y polígonos

Un polígono simple es una figura plana cuyo borde está formado por segmentos que se unen consecutivamente y cierran la figura sin cruzarse entre sí. Cada segmento es un lado; cada unión de lados vecinos, un vértice. En un pentágono hay cinco lados y cinco vértices.

Una diagonal une dos vértices no vecinos; no es otro lado del borde. La circunferencia no es un polígono porque su borde es curvo. Una línea abierta tampoco lo es porque falta cerrar el recorrido. Aquí trabajaremos con polígonos simples, con al menos tres lados.

Por lados: equilátero tiene los tres iguales; isósceles tiene al menos dos iguales; escaleno tiene los tres distintos. Usamos una clasificación inclusiva: un equilátero también cumple tener al menos dos lados iguales. Las marcas iguales en lados indican igualdad de longitud; girar el dibujo no cambia esa propiedad.

Por ángulos: acutángulo tiene tres agudos; rectángulo tiene uno recto; obtusángulo tiene uno obtuso. El dibujo de 50°, 60° y 70° es acutángulo. Los dos criterios describen propiedades distintas: un triángulo puede ser isósceles y rectángulo a la vez, con ángulos 45°, 45° y 90°.

En un triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales. En uno equilátero, los tres ángulos son iguales y, al sumar 180°, miden 60° cada uno. En una figura dada no inventamos igualdades por cómo se ve: las leemos en medidas, marcas o propiedades indicadas.

No cualquier terna de longitudes forma un triángulo. Los lados deben ser positivos y la suma de cada pareja debe superar al tercero. Si los ordenamos, basta comprobar que los dos menores juntos superen al mayor. Para 3, 4 y 8 cm, tres más cuatro solo llega a siete: no alcanza para cerrar con ocho.

Si la suma fuese exactamente igual, quedaría una figura alineada y sin interior triangular.

En el plano, los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180°. Podemos justificarlo trazando por un vértice una paralela al lado opuesto: los ángulos de la base se trasladan como alternos internos y junto al del vértice completan un llano. El dibujo anterior muestra tres aberturas que suman esa media vuelta.

Por esa suma, no puede haber dos ángulos rectos u obtusos en un triángulo no degenerado: ya consumirían al menos 180° y no dejarían una abertura positiva para el tercero.

Un paralelogramo tiene dos pares de lados opuestos paralelos. Un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos y es un paralelogramo. Un rombo tiene cuatro lados iguales y también es un paralelogramo. Un cuadrado cumple ambas condiciones: cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.

Por eso todo cuadrado es rectángulo y rombo; no todo rectángulo ni todo rombo es cuadrado. El rombo del dibujo tiene lados iguales y ángulos no rectos. Para usar «trapecio», aquí fijamos la convención de exactamente un par de lados paralelos; otros textos pueden usar un nombre de alcance distinto, así que leemos su definición.

En cualquier cuadrilátero simple, los ángulos interiores suman 360°. Sus ángulos no tienen que medir 90° cada uno: eso solo ocurre si sabemos que es rectángulo. La suma total no determina por sí sola cada abertura.

En un polígono convexo, cada diagonal entre vértices queda dentro de la figura. Desde un vértice podemos dividir un polígono de n lados en n − 2 triángulos que cubren el interior sin solaparse. Cada triángulo aporta 180°, así que la suma es (n − 2) · 180°.

Los números dentro cuentan triángulos, no medidas de un ángulo individual. No hemos necesitado que sea regular para calcular la suma.

La misma suma total vale para un polígono simple cóncavo, pero no se pueden trazar sin cuidado todas las diagonales desde cualquier vértice: algunas quedarían fuera. En ese caso se elige una triangulación interior adecuada. Convexo significa que no presenta un ángulo interior mayor que 180°; un cóncavo sí puede presentarlo.

Un polígono regular cumple las dos condiciones: todos sus lados son iguales y todos sus ángulos interiores también. Un rectángulo de cuatro por dos tiene cuatro ángulos iguales, pero sus lados no son todos iguales: no es regular. Un rombo de ángulos 60° y 120° tiene lados iguales, pero tampoco es regular.

En un polígono regular de n lados, cada ángulo interior mide la suma dividida entre n: α = (n − 2) · 180°/n. No repartimos por igual los ángulos de uno irregular solo porque conozcamos su suma.

Al llegar a un vértice de un polígono convexo, prolongamos el lado por el que veníamos. El ángulo exterior entre esa dirección y el siguiente lado completa un llano con el interior: exterior = 180° − interior.

Al recorrer el borde una vez con el mismo sentido, los giros exteriores de un convexo suman 360°. Si es regular, son iguales y cada uno mide 360°/n. Para uno cóncavo hay que conservar el sentido de los giros; no sumamos sin más todas las aberturas como positivas.

En un decágono regular, cada giro es 360°/10 = 36° y cada interior es 180° − 36° = 144°. Esta segunda vía debe coincidir con la suma interior dividida entre diez.

Un triángulo con ángulos de 70° y 130° ya sumaría 200°, antes de añadir el tercero: no existe en el plano. Una respuesta negativa para el ángulo que falta no se acepta como medida interior de un triángulo; nos avisa de datos incompatibles o de una relación mal aplicada.

Las marcas de igualdad o paralelismo y los datos escritos justifican las clasificaciones. Un rombo no deja de serlo al girarlo; un cuadrilátero que parece rectángulo no se demuestra con mirarlo. En una figura regular, tanto la igualdad de medidas como el número de lados deben ser compatibles con las fórmulas.