Rectas, ángulos y posiciones relativas

Un segmento AB es el tramo recto limitado por los puntos A y B. Una semirrecta tiene un origen y continúa en un sentido sin final. Una recta se prolonga en ambos sentidos. Las flechas del dibujo indican esa continuación; no representan extremos físicos de la recta.

Si solo vemos dos trazos separados dentro de una hoja, no basta para afirmar que sus rectas nunca se cortan. Debemos pensar en prolongarlas. También distinguimos una línea curva de un tramo recto: no se convierte en recta por tener dos puntos señalados.

Dos semirrectas con el mismo origen forman una abertura. El origen común es el vértice y las semirrectas son los lados del ángulo. Un arco indica qué abertura estamos midiendo, porque las mismas direcciones permiten considerar la región pequeña o la que completa la vuelta.

En grados, una vuelta completa son 360°, media vuelta 180° y un cuarto de vuelta 90°. Alargar los lados dibujados sin cambiar sus direcciones no altera la medida. Tampoco cambia al girar todo el dibujo: el ángulo no depende de que un lado esté horizontal.

Un ángulo agudo mide más de 0° y menos de 90°. Uno recto mide exactamente 90°. Uno obtuso está entre 90° y 180° sin incluir esos extremos. Un llano mide 180°; uno nulo, 0°; una vuelta completa, 360°.

Para una medida entre 180° y 360° hablamos de ángulo cóncavo o reflejo. Siempre revisamos qué arco se ha marcado: entre una semirrecta hacia la derecha y otra hacia abajo, la abertura pequeña puede ser 90°, mientras la región grande mide 270°. No damos por hecho cuál de las dos se pide.

Dos rectas distintas paralelas mantienen su dirección y nunca se cortan al prolongarse. Si se encuentran en un punto, son secantes. Cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos, son perpendiculares. Dos nombres pueden referirse a la misma recta: entonces son coincidentes, no dos paralelas distintas.

Estas posiciones se estudian aquí en un mismo plano. Dos trazos que no se cruzan en una ventana pueden representar rectas secantes cuyo encuentro queda fuera. Para afirmar perpendicularidad necesitamos 90°, no simplemente ver una cruz.

Dos ángulos son complementarios si sus medidas suman 90°. Por ejemplo, 35° y 55° completan un recto. Son suplementarios si suman 180°: 70° y 110° completan un llano. Estas relaciones numéricas pueden cumplirse aunque los ángulos estén dibujados separados.

Cuando comparten vértice y un lado sin solapar interiores, son consecutivos. Si además sus lados no comunes son semirrectas opuestas, forman un par lineal y suman 180°. En nuestros ejercicios la condición «adyacentes que forman un llano» deja explícito ese caso. Compartir un lado por sí solo no obliga a sumar 180°.

Dos rectas que se cruzan forman dos parejas de ángulos opuestos por el vértice. En una de esas parejas, cada lado de un ángulo prolonga un lado del otro. Sus medidas son iguales. No comparten una región interior ni un lado: están enfrentados.

Podemos justificarlo usando un ángulo vecino: si α + β = 180° y γ + β = 180°, al restar β obtenemos α = γ. Alrededor del punto, todos los sectores sin solaparse que completan la vuelta suman 360°. Elegimos 180° o 360° según la región total que describan los datos.

En el dibujo, las dos horizontales son paralelas y la recta inclinada es una transversal. Se forman ocho ángulos numerados. Los números identifican regiones, no grados. Uno y cinco ocupan la misma posición relativa en sus cruces: son correspondientes y tienen la misma medida.

Los interiores quedan entre las paralelas: tres, cuatro, cinco y seis. Tres y cinco están a lados opuestos de la transversal: son alternos internos y se igualan. Cuatro y seis también. Los interiores del mismo lado, como tres y seis, suman 180°.

Estas igualdades necesitan paralelismo. Las direcciones de las dos rectas paralelas son las mismas y la transversal aporta la otra dirección, por eso se repiten las aberturas. Si no se afirma o justifica que las rectas son paralelas, la apariencia del dibujo no autoriza trasladar una medida.

Si dos ángulos de un par lineal miden 2x + 10 y 3x − 5 grados, su suma es 180°.

Las medidas son 80° y 100°.

x es el valor que permite calcular las medidas; no necesariamente es la medida de uno de los ángulos. Al terminar sustituimos en cada expresión y comprobamos la suma o igualdad, además de que las medidas correspondan a las regiones del dibujo.

Para un suplemento de un ángulo agudo, esperamos una medida obtusa: 180° menos un número entre cero y noventa queda entre noventa y ciento ochenta. Esa observación orienta, pero el cálculo y la condición geométrica justifican la respuesta.

Una igualdad de expresiones puede dar una medida que contradiga el dibujo o el tipo de ángulo indicado. Entonces revisamos los datos y el planteamiento; no redondeamos ni cambiamos el tipo para forzar una respuesta. Un dibujo a escala ayuda a comprender, pero las condiciones dadas son las que mandan.