Diferencias finitas y discretización de ecuaciones

Son N+1 nodos. Con valores de Dirichlet fijados en ambos extremos quedan N−1 incógnitas interiores. El vector U aproxima valores de una función; aún no define por sí solo qué pasa entre nodos.

Las fórmulas de paso uniforme necesitan distancias iguales. En una malla no uniforme hay que volver a usar sus anchuras reales. No se elige una h cómoda y se la aplica a vecinos que están a otras distancias.

La diferencia hacia delante es [u(x+h)−u(x)]/h; hacia atrás, [u(x)−u(x−h)]/h. Si u tiene segunda derivada acotada, Taylor muestra error O(h). La centrada [u(x+h)−u(x−h)]/(2h) cancela el término de segundo grado y tiene error O(h²) con tercera derivada acotada.

La suavidad es una hipótesis real. Por ejemplo, la fórmula centrada de |x| en cero da cero para cualquier h, pero |x| no es derivable allí. Una operación numérica definida no demuestra que exista el objeto que pretendemos aproximar.

Taylor a ambos lados da u(x±h)=u(x)±hu′(x)+(h²/2)u″(x)±(h³/6)u‴(x)+O(h⁴), con la regularidad pertinente.

Dividir por h² produce una aproximación de orden dos si la cuarta derivada está controlada. Sin h² cambiamos escala y unidades. Los errores de los valores usados también se amplifican por esa división; no todo refinamiento beneficia a datos ruidosos.

La diagonal es positiva y los vecinos negativos. Al multiplicar por h² también multiplicamos el segundo miembro: 2Uᵢ−Uᵢ₋₁−Uᵢ₊₁=h²f(xᵢ).

Las dos formas son equivalentes si se escala todo. Mezclarlas altera el problema. En una dimensión, cada incógnita solo se conecta a sus dos vecinas y aparece una matriz tridiagonal.

Con U₀=α y U_N=β, sus términos se trasladan al segundo miembro de las filas vecinas. Para la forma sin dividir por h², se añade α a la primera carga y β a la última. No se vuelven a tratar como incógnitas sin añadir sus condiciones.

Neumann fija una derivada en lugar de un valor y requiere otra discretización del borde. En un problema puramente Neumann, una constante puede quedar indeterminada y el dato f necesita compatibilidad. No se conserva sin cambios la matriz de Dirichlet.

El defecto de truncamiento se obtiene sustituyendo valores de la función exacta en el operador discreto Lₕ. El error global compara la solución U con esos valores exactos.

Para deducir error pequeño necesitamos controlar Lₕ⁻¹ con la escala y norma correctas.

Para este Dirichlet unidimensional en [0,1], el principio de comparación de la tridiagonal permite la cota ‖Lₕ⁻¹g‖∞≤‖g‖∞/8.

Las barreras ±‖g‖∞w acotan la solución. Esta constante corresponde al operador que incluye 1/h², no a cualquier matriz reescalada.

Para uₜ=D uₓₓ, D>0, Euler explícito en tiempo y diferencia centrada en espacio dan Uᵢ nuevo=λUᵢ₋₁+(1−2λ)Uᵢ+λUᵢ₊₁, con λ=DΔt/h². Si 0≤λ≤1/2, los pesos no son negativos y suman uno. Esto da una garantía de estabilidad en el marco unidimensional usual con fronteras controladas.

Para una onda discreta, el factor de amplificación es 1−4λsin²(θ/2). Fuera del intervalo permitido algunas perturbaciones pueden crecer. Euler implícito requiere resolver un sistema por paso y tiene otro factor: 1/[1+4λsin²(θ/2)]. Su estabilidad para λ≥0 en este problema lineal no elimina el error temporal.

El error total reúne discretización, aproximación del sistema, evaluación de datos y aritmética. Si una fuente deja de ser pequeña respecto de otra, los cocientes entre mallas dejan de mostrar el orden formal. Se registran norma, residual original, tolerancias y tipo de frontera.

Un modelo ilustrativo de compromiso es E(h)=h²+ε/h²: el primer término baja al refinar, el segundo crece. No es una ley universal para cada algoritmo; explica por qué conviene medir en lugar de afirmar que el paso más pequeño siempre será mejor.