Transformada Z y secuencias discretas

La transformada bilateral es X(z)=Σₙ∈Zx[n]z⁻ⁿ donde la suma converge absolutamente. Cada muestra lleva el peso de su índice: n=0 aporta x[0], n=1 aporta x[1]/z y n=−1 aporta x[−1]z. El origen temporal debe estar indicado; la lista de valores sin sus posiciones no determina la señal.

Es una condición de soporte, no una garantía de convergencia o estabilidad. Para secuencias finitas hacemos una suma finita, pero las potencias negativas pueden excluir z=0. En puntos especiales se revisa la expresión efectiva; no se descarta cero por costumbre si solo quedan potencias no negativas.

La región de convergencia, ROC, contiene los z para los que Σ|x[n]z⁻ⁿ| es finita. Para una cola de índices positivos suele aparecer un límite interior de radios; para una cola negativa, uno exterior. Su interior es un anillo, posiblemente sin uno de sus bordes. Los puntos frontera deben comprobarse según la secuencia; para las geométricas que usaremos se excluyen.

Una función racional puede escribirse en expansiones de Laurent distintas según el anillo. Por eso X(z) y ROC forman una respuesta conjunta. Revisar solo que el denominador no se anule no basta: la suma puede divergir en muchos otros puntos donde la fracción tiene un valor algebraico.

Para S_N=1+q+…+qᴺ, restamos qS_N y se cancelan los términos intermedios: (1−q)S_N=1−q⁽ᴺ⁺¹⁾.

Para pasar a infinitos términos exigimos |q|<1, que hace desaparecer el resto q⁽ᴺ⁺¹⁾. La suma finita no necesitaba esa condición.

En cambio, la expansión interior z/(z−a)=−Σₘ≥₁(z/a)ᵐ, válida en |z|<|a|, representa x[n]=−aⁿ para n≤−1 y cero después. Mismo cociente, dos secuencias distintas.

Si y[n]=x[n−k], ponemos m=n−k y obtenemos Y(z)=z⁻ᵏX(z) donde la suma bilateral corresponde.

La región se mantiene para radios finitos no nulos donde antes convergía, pero cero o infinito pueden cambiar al añadir o cancelar potencias.

Adelantar una secuencia puede llevar valores a índices negativos. La propiedad bilateral los conserva, aunque la secuencia inicial fuera causal. Si cortamos la suma en cero, esos valores ya no están incluidos y aparecen términos de borde: esa será la transformada unilateral, que trataremos aparte.

Se obtienen escribiendo los primeros términos y desplazando el índice, sin suponer que el dato anterior al origen sea cero.

Para una recurrencia, se especifica desde qué n vale y qué datos la inician. Después se transforma cada término, se despeja X⁺, se reconoce una expansión causal y se comprueban muestras y ecuación. Quitar un dato de borde puede producir una fórmula correcta para otro problema, pero no para el planteado.

Así obtenemos la transformada de Fourier de tiempo discreto X(ω)=Σx[n]exp(−iωn). Es periódica en ω con periodo 2π y ω se mide en radianes por muestra. Todavía no es una DFT de longitud finita: es una función de frecuencia continua para una secuencia.

Si x es absolutamente sumable, todo el círculo unidad pertenece a su región de convergencia absoluta y esta evaluación está justificada. Sin esa hipótesis puede haber otros sentidos de transformada, pero no se afirma que una sustitución en una fracción represente la suma ordinaria. La ROC seleccionada sigue importando.

Para el sistema de convolución discreto habitual, BIBO equivale a Σ|h[n]|<∞. Su ROC debe incluir el círculo unidad. Si la función racional reducida describe una respuesta causal, la ROC es exterior a sus polos y BIBO equivale a que estos estén estrictamente dentro del círculo unidad.

Un polo sobre la circunferencia no cumple el criterio.

Sin causalidad, la localización de polos no basta para escoger la región. Además BIBO de una relación entrada–salida no garantiza estabilidad de todos los estados internos de una realización. Un modo desconectado u oculto por cancelación puede crecer sin aparecer en esa relación. Hay que indicar qué estabilidad se está comprobando.

Podemos invertir una racional separándola en formas conocidas y seleccionando para cada término la expansión compatible con la ROC. Para una secuencia causal, el límite X(z) cuando z real tiende a infinito recupera x[0] si estamos en una región exterior de convergencia; los siguientes coeficientes se leen restando términos ya encontrados.

Para listas finitas, X(1) suma muestras.

Una comprobación vuelve a los índices y a la recurrencia, no solo al denominador. Incluso una operación algebraica nueva requiere condiciones: por ejemplo Z{nx[n]}=−zX′(z) es inmediata para sumas finitas; para series infinitas se justifica derivación dentro del anillo de convergencia. No se traslada sin revisión a sus fronteras.