Condicionamiento y estabilidad numérica

Los datos pueden variar a x+Δx y la solución exacta cambia a f(x+Δx). El condicionamiento compara esos cambios. Debemos declarar qué datos se perturban, cómo medimos sus tamaños y si usamos errores absolutos o relativos.

El algoritmo es el procedimiento que produce una aproximación ỹ. Dos algoritmos para el mismo problema pueden tener estabilidad distinta. El problema conserva su condición aunque cambiemos de calculadora. También puede cambiar la condición si cambiamos la pregunta, la escala o qué entradas consideramos inciertas.

Así κ_abs(x)=|f′(x)| mide la amplificación absoluta de primer orden. Si x≠0 y f(x)≠0, dividir por los tamaños de entrada y salida da κ_rel(x)=|x f′(x)/f(x)|.

Es una descripción local: para perturbaciones finitas hay términos de orden superior. Si f′(x)=0, desaparece el primer orden, pero la función no tiene por qué ser constante. Si x o f(x) son cero, esta fórmula relativa no está definida; usamos una medida absoluta o escalas elegidas y declaradas.

Si c es fijo y f(x)=x−c, entonces κ_abs=1 y κ_rel=|x/(x−c)| donde corresponde. Cerca de c, un cambio absoluto pequeño puede representar una fracción grande de la salida. Este fenómeno existe incluso en aritmética exacta.

Si ambos datos x, y varían con |Δx|≤η|x| y |Δy|≤η|y|, la diferencia tiene error relativo a lo sumo η(|x|+|y|)/|x−y|, siempre que x−y≠0. La suma de magnitudes aparece por la desigualdad triangular. Esta es otra condición, para otro modelo de perturbación.

Fijada la entrada x, el error hacia delante absoluto es |ỹ−f(x)|, o la norma correspondiente para vectores. Su versión relativa divide por |f(x)| si no es cero. Esta medida responde a cuánto nos hemos equivocado en la respuesta del problema original.

Que dos programas coincidan es un indicio, pero no una prueba: pueden compartir datos redondeados o un mismo error de planteamiento. Tampoco se deduce precisión de la longitud de un decimal impreso. Necesitamos una referencia exacta, una cota o un control independiente.

Buscamos una perturbación admisible Δx tal que ỹ=f(x+Δx). Su tamaño mide error hacia atrás; si hay varias, puede interesar la menor según la norma declarada. Puede no existir una perturbación del tipo permitido, por ejemplo si la salida queda fuera de la imagen del problema.

Un algoritmo estable hacia atrás produce soluciones exactas de problemas con pequeñas perturbaciones de los datos, bajo un modelo y cotas establecidos para sus entradas. Una sola ejecución con error hacia atrás pequeño no prueba estabilidad del algoritmo completo. Si la condición es grande, hasta un error hacia atrás pequeño puede generar gran error hacia delante.

La relación κ·error hacia atrás es local y puede tener términos superiores.

Para Ax=b, con A invertible y solución exacta x, una aproximación x̃ tiene residuo r=b−Ax̃.

Un residuo pequeño solo controla el error si controlamos también A⁻¹.

Con una norma vectorial y la norma matricial subordinada, κ(A)=‖A‖‖A⁻¹‖≥1.

Manteniendo A fija, x̃ resuelve exactamente Ax̃=b−r: el residuo es también una perturbación del segundo miembro, con signo menos.

κ(A) limita la amplificación máxima según la norma elegida; no dice que toda perturbación la alcance. Algunas direcciones se transmiten suavemente y otras se amplifican mucho. Cambiar unidades o variables cambia la geometría y la interpretación de la condición; debemos explicar en qué variables queremos precisión.

La regularización cambia el problema para reducir sensibilidad, habitualmente introduciendo sesgo. No se presenta como una recuperación exacta de información perdida. Del mismo modo, escalar puede mejorar el comportamiento de un algoritmo, pero al volver a las variables físicas originales reaparece la sensibilidad correspondiente.

Si ‖A⁻¹ΔA‖<1, la serie de Neumann asegura que el factor de la izquierda es invertible.

Se deduce aplicando la cota 1/(1−‖A⁻¹ΔA‖) a la identidad anterior. No se usa el cociente si el denominador no es positivo; tampoco se oculta que la norma subordinada y los datos perturbados deben ser compatibles.

Para decidir qué mejorar, identificamos las incertidumbres de entrada, estimamos la condición y examinamos el algoritmo. Una fórmula puede introducir cancelación evitable en un problema bien condicionado. Si la información de entrada ya es insuficiente, aumentar la precisión de las operaciones no la inventa.

Un informe útil indica el problema, la escala del error, el modelo de perturbación, la aproximación y su control. Si se usa un residuo, se explica cómo se convierte en error. Si solo hay un experimento con más precisión, se presenta como comprobación experimental y no como certificado universal.