Métodos numéricos para problemas de evolución

Un problema inicial tiene y′=f(t, y), y(t₀)=y₀ y un intervalo temporal de interés. Puede ser escalar o vectorial.

Una línea que una esas muestras es una interpolación adicional; no es automáticamente la trayectoria exacta ni da un control de error entre nodos.

Continuidad de f y Lipschitz local respecto de y dan existencia y unicidad local bajo las hipótesis habituales. Local no significa para cualquier tiempo: hay que controlar dominio y crecimiento. Sin la condición suficiente de unicidad pueden existir varias trayectorias desde el mismo dato. Cambiar el paso no resuelve una ambigüedad del problema matemático.

Euler reemplaza la integral por un rectángulo con altura f(tₙ, yₙ): yₙ₊₁=yₙ+h f(tₙ, yₙ). Todos esos argumentos se conocen al iniciar el paso. En el siguiente paso recalculamos la pendiente; no mantenemos la primera durante toda la evolución.

El incremento hf tiene las unidades de y, pues f mide cambio de y por unidad de tiempo. El paso debe ajustarse al intervalo y al dominio donde f está definida. Usar el valor final desconocido dentro de f sería otro método, no una manera equivalente de escribir el explícito.

La ecuación yₙ₊₁=yₙ+h f(tₙ₊₁, yₙ₊₁) contiene el nuevo valor en ambos lados. En una ley lineal puede despejarse; en una no lineal quizá necesitemos Newton y una tolerancia interna. Escribir la ecuación no significa haberla resuelto ni demostrar que tiene una única solución para cualquier paso.

Para λ real negativo y h>0 ese denominador es positivo, pero no extendemos esa propiedad a cualquier ecuación. El error de la resolución interna también forma parte del error numérico.

Insertamos la solución exacta en Euler explícito y llamamos defecto no normalizado a dₙ=y(tₙ₊₁)−y(tₙ)−hf(tₙ, y(tₙ)).

Algunos textos dividen por h y llaman error local a una cantidad O(h): hay que especificar el convenio.

Si f tiene constante de Lipschitz L en la región usada, el error satisface eₙ₊₁≤(1+hL)eₙ+Mh²/2. Con el mismo dato inicial y T=nh fijo, sumar la progresión da eₙ≤Mh[(exp(LT)−1)/(2L)] si L>0, y eₙ≤MTh/2 si L=0. Así el error global es O(h). Un error inicial añade un término ≤exp(LT)e₀; no desaparece por reducir el paso.

Para y′=λy, la solución exacta multiplica cada paso por exp(hλ), que decae si Re(λ)<0.

Para decaimiento discreto estricto pedimos |1+z|<1: el disco abierto con centro −1 y radio uno. La frontera conserva módulo y no da ese decaimiento estricto.

Puede haber alternancia de signos aun dentro de esa región, perdiendo positividad de un modelo que sí la posee. Si λ es complejo hay que comprobar el módulo completo: la desigualdad real no se convierte sin más en una regla sobre |λ|.

Su región incluye todo ese semiplano: es A-estable. Además R(z) tiende a cero al alejarse hacia grandes modos disipativos; esta propiedad ayuda en problemas rígidos.

El factor estable puede diferir mucho de eᶻ. El método puede deformar velocidades de decaimiento o amortiguar oscilaciones que deberían conservar amplitud. En problemas no lineales hay que controlar la resolución interna y el dominio: una prueba para la ecuación lineal no demuestra cualquier comportamiento global.

Un sistema puede combinar un modo lento que queremos seguir y uno rápido que se extingue enseguida. Euler explícito debe evitar amplificar el rápido incluso después de que su valor exacto sea diminuto. La rigidez describe esta dificultad en relación con intervalo, precisión y método; no es solo ver un coeficiente grande aislado.

Un método implícito puede permitir pasos mayores por estabilidad, pero añade resolución de ecuaciones y debe seguir siendo suficientemente preciso para el modo de interés. Las hipótesis sobre estructura, precisión y coste deciden si compensa. No se llama precisa a una trayectoria solo porque sus muestras permanezcan pequeñas.

Heun calcula k₁=f(t, y), un predictor y+h k₁, después k₂=f(t+h, y+h k₁) y finalmente y_nuevo=y+h(k₁+k₂)/2. Promedia dos pendientes. Bajo regularidad adecuada tiene orden global dos en un intervalo fijo. Su función de estabilidad lineal es 1+z+z²/2: sigue siendo un método explícito con región limitada.

Runge–Kutta clásico de cuatro etapas usa k₁=f(t, y), k₂=f(t+h/2, y+hk₁/2), k₃=f(t+h/2, y+hk₂/2), k₄=f(t+h, y+hk₃), y combina y+h(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6. Tiene orden global cuatro bajo las condiciones de suavidad apropiadas; no todos los métodos llamados Runge–Kutta tienen ese orden. Control adaptativo necesita además estimaciones y reglas de aceptación.

Cuando existe referencia exacta, comparamos con ella. También examinamos refinamiento de paso y estimaciones de error, sin tomar coincidencias fortuitas como prueba. Positividad, masa o energía pueden ser controles adicionales si el modelo los posee; el método debe demostrarlos o comprobarlos, no heredarlos por deseo.

Un resultado acotado puede tener fase equivocada. Conservar una norma tampoco demuestra seguir la trayectoria correcta a la velocidad correcta. Informamos método, paso o tolerancias, intervalo, condición de parada de resoluciones internas y tipo de control realizado. Separamos exactitud de la cuenta, estabilidad y precisión final.