Respuesta impulsional y operaciones de filtrado

El impulso discreto δ[n] es una muestra uno en el origen y cero fuera. Para un filtro lineal e invariante en el tiempo, h[n] es la salida a ese impulso. Una entrada finita se descompone en impulsos desplazados y escalados; sumar sus respuestas produce la convolución.

La descripción es de estado cero. Si una implementación recursiva guarda memoria previa, añade una respuesta libre. Con entradas o respuestas infinitas se requieren hipótesis de convergencia; una tabla de coeficientes no elimina el dato inicial ni permite intercambiar sumas sin control.

En y[n]=Σₖh[k]x[n−k], fijamos n y recorremos k. h[0] pesa el dato actual; h[1] el anterior; h[2] el de dos muestras antes. Primero se busca x[n−k], después se multiplica y al final se suman las aportaciones.

Índice negativo de h y peso negativo son cosas distintas. Un h[−1] no nulo consulta x[n+1], una muestra futura. Un h[1]=−1 sigue consultando el pasado y solo cambia el signo de su aportación. La causalidad se decide por posiciones, no por el signo de las amplitudes.

FIR significa respuesta impulsional con soporte finito; IIR, una cola que no termina exactamente. Un FIR causal puede usar una ventana finita de entradas anteriores. Un IIR puede describirse con pocos coeficientes recursivos y ser estable si su cola es absolutamente sumable.

El criterio BIBO es Σ|h[k]|<∞ para el filtro de convolución discreto habitual. La recursividad de un programa no decide por sí sola FIR o IIR: una recurrencia puede representar un FIR bajo sus condiciones iniciales. La respuesta h efectiva y los estados internos se revisan por separado.

Para x[n]=c en todos los índices consultados, y[n]=cΣh[k], cuando la suma existe. La suma de pesos es la ganancia de frecuencia cero. Si debe conservar cualquier constante, esa suma tiene que ser uno. Esto no promete conservar variaciones rápidas.

Para un promedio convexo de los datos, además los pesos son no negativos. Entonces la salida queda entre el menor y mayor dato de la ventana. Con suma uno y pesos de signos distintos se preservan constantes, pero pueden aparecer valores fuera de ese intervalo.

Combina el presente con el pasado. Conserva constantes y puede cancelar alternancias, pero una transición se extiende durante varias salidas. No conserva cada detalle del registro.

Para pesos reales simétricos de longitud M, la respuesta tiene un factor exp(−iΩ(M−1)/2) por una función real. En intervalos donde H no se anula y se elige una fase coherente, el retardo de grupo es (M−1)/2 muestras. Puede ser semientero: describe la pendiente de la fase, no una consulta a x en un índice fraccionario.

Suman cero, así una región constante produce salida cero. Un cambio positivo o negativo deja una respuesta con su signo. Esto también puede resaltar variaciones rápidas de ruido.

Si los datos vienen de una función suave separada por T, dividir entre T da una aproximación de derivada con unidades de amplitud por tiempo. Una diferencia finita no es el límite de la derivada para un T cualquiera. El error depende de regularidad, paso y ruido.

Para x[n]=exp(iΩn), la convolución de estado cero produce y[n]=H(Ω)exp(iΩn), con H(Ω)=Σh[k]exp(−iΩk) si la suma converge. Para FIR es una suma finita. En Ω=0 todos los factores son uno, de modo que H(0)=Σh[k].

El módulo escala amplitudes y el argumento cambia fase. Si H=0, no se define una fase para esa frecuencia. Las gráficas de módulo por sí solas no describen el retraso ni una respuesta completa; se interpretan junto con la fórmula compleja y la prehistoria de la entrada.

Una ventana puede pedir datos anteriores o posteriores al bloque conocido. Podemos calcular solo posiciones con ventana completa o declarar extensión por cero, constante, reflexión o periodicidad. Cada convención define otras señales de borde. Una constante limitada a un registro y extendida por cero ya no es constante en todo el tiempo.

En continuo, filtrar usa una integral. Al aproximarla por una suma de rectángulos se conserva su anchura T: aparecen pesos T h(kT), junto con la regla de cuadratura y sus extremos. Usar sin más las alturas h(kT) puede perder escala y unidades. El método numérico también requiere sus hipótesis y error.