Realimentar significa usar lo que sabemos del estado para decidir la entrada. Si no medimos todo el estado, un observador mantiene una estimación y la corrige comparando lo que predice con el sensor. Diseñaremos ambas partes con ejemplos pequeños, comprobaremos sus signos y veremos por qué estabilizar, seguir una referencia y resistir ruido son objetivos relacionados pero diferentes.
Si necesitas repasar:
1. Cerrar el lazo cambia la dinámica efectiva al sustituir la entrada
A−BK gobierna ahora la respuesta libre del lazo cerrado. No cambiamos físicamente A o B: hemos hecho que la entrada dependa del estado. Mantendremos este signo menos en toda la lección.
Si hay n estados y m entradas, K tiene tamaño m×n y BK es n×n.
Confundir BK con KB o cambiar el signo de una fórmula altera el sistema. Primero se hace la sustitución completa; después se interpretan sus polos.
Mover un polo escalar con un cálculo verificable
x′=x+2u y u=−2x.
Sustituir
x′=x+2(−2x)=−3x.Polo
A−BK=1−2·2=−3.Trayectoria
Sin referencia, x=x₀exp(−3t).La derivada y el dato inicial comprueban la ecuación cerrada.
La ganancia dos estabiliza este modelo ideal.
El factor dos de B multiplica la ganancia: el polo no sería 1−2.
Comprobar el orden de un producto matricial
A=[[0,1],[0,0]], B=(0,1)ᵀ y K=(6,5).
Tamaños
B es 2×1 y K es 1×2, así BK es 2×2.
Multiplicar
BK=[[0,0],[6,5]] y A−BK=[[0,1],[−6,−5]].Otra operación
KB sería el escalar cinco. No puede sustituirse por una matriz 2×2 en la ecuación del estado.
La ley u=−6x₁−5x₂ produce dos ecuaciones cerradas coherentes.
Las filas dan x₁′=x₂ y x₂′=−6x₁−5x₂; volver a ellas detecta signos equivocados.
2. Elegir polos plantea una rapidez, pero no fija toda la respuesta
Los autovalores de A−BK fijan los modos internos cerrados. Partes reales negativas dan decaimiento; pares complejos pueden introducir oscilación. Con matrices y ganancias reales, los polos complejos deben aparecer en pares conjugados para que el polinomio tenga coeficientes reales.
Los polos no fijan por sí solos todas las amplitudes: también importan ceros, salida, referencia y estado inicial. Moverlos muy a la izquierda puede exigir controles grandes. Si el actuador satura, deja de aplicar u=−Kx y la matriz nominal ya no describe toda la trayectoria real.
Polos rápidos pueden exigir mucha más fuerza inicial
Doble integrador q′=v, v′=u, con q(0)=1 y v(0)=0.
Objetivo moderado
Polos −2 y −3 dan K=(6,5), así u(0)=−6.Objetivo mucho más rápido
Polos −20 y −30 dan K=(600,50), así u(0)=−600.Límite físico
Con un actuador limitado a |u|≤10, el segundo control no puede aplicarse al inicio. La prueba nominal de polos no certifica esa ejecución saturada.
Mayor rapidez nominal tiene un coste que se revisa con estados representativos.
No se afirma que saturar siempre cause inestabilidad; se afirma que cambia el modelo que habíamos demostrado.
Una pareja compleja realista conserva su conjugado
Polos pedidos −1+2i y −1−2i.
Multiplicar factores
[s−(−1+2i)][s−(−1−2i)]=(s+1)²+4=s²+2s+5.Coeficientes reales
Ese objetivo se puede comparar con un polinomio real del lazo.
Petición incompatible
Pedir solo −1+2i y −3 para un modelo real de dos estados no daría una pareja cerrada por conjugación; necesitaría otra especificación.
El conjunto de polos debe ser compatible con el tipo real del modelo.
La parte real −1 determina la envolvente modal; el dos imaginario, su oscilación.
3. Antes de buscar una ganancia comprobamos qué modos puede modificar B
Si (A, B) es controlable, podemos asignar cualquier polinomio de grado n compatible con coeficientes reales mediante una realimentación de estado. La matriz [B, AB,…, Aⁿ⁻¹B] debe tener rango n. Esta es una condición del actuador y la dinámica, anterior a resolver las ecuaciones de K.
Para solo estabilizar basta estabilizabilidad: los modos incontrolables ya deben ser estrictamente estables. No podemos mover un modo que ninguna historia de entrada afecta. Las restricciones reales de amplitud y robustez se revisan además de esta posibilidad estructural.
Una dirección ya estable puede quedarse donde está
A=diag(1,−2), B=(1,0)ᵀ.
Rango
B y AB son (1,0), así solo hay rango uno.
Ganancia posible
K=(3,0) produce A−BK=diag(−2,−2).Alcance
El polo +1 se pudo mover; el segundo quedó en −2. Hay estabilizabilidad, aunque no libertad para colocar ambos polos arbitrariamente.
Estabilizar es una exigencia más débil que asignar todos los modos.
Ninguna elección de K cambiaría el modo de la segunda fila que no recibe el actuador.
Un modo creciente incontrolable impide el objetivo
A=diag(1,−2), B=(0,1)ᵀ.
Dinámica oculta
La primera ecuación es x₁′=x₁ y no contiene u.Sustituir cualquier K
Aunque u dependa de ambos estados, la primera ecuación sigue siendo la misma.
Consecuencia
Con x₁(0)≠0 queda crecimiento exp(t).No existe K que haga toda la dinámica asintóticamente estable.
No hay que seguir resolviendo una asignación imposible por estructura.
Obtener un polo estable en la segunda componente no arregla el modo +1 de la primera.
4. En dimensión pequeña igualamos coeficientes y comprobamos los polos finales
Calculamos det(sI−A+BK), lo igualamos al polinomio deseado y resolvemos sus coeficientes. Al final reconstruimos A−BK y volvemos a calcular el polinomio. Para muchos estados se usan métodos numéricos específicos; una cuenta simbólica pequeña no elimina problemas de condicionamiento en modelos grandes.
Para el doble integrador con B=(0,1)ᵀ y K=(k₁, k₂), el polinomio cerrado es s²+k₂s+k₁. La posición de cada ganancia se deduce del determinante, no de memorizar que siempre deben ir en un orden particular para cualquier realización.
Asignar dos polos reales al doble integrador
Objetivo −2 y −3.
Polinomio deseado
(s+2)(s+3)=s²+5s+6.Comparar
k₂=5 y k₁=6, así K=(6,5).Verificar
A−BK=[[0,1],[−6,−5]], con traza −5, determinante seis y raíces −2,−3.
Las dos ganancias sitúan ambos polos del modelo controlable.
Con q(0)=1 y v(0)=0, q=3exp(−2t)−2exp(−3t) comprueba el transitorio libre.
Asignar un par oscilatorio con ganancias reales
Objetivo −1±2i para el mismo modelo.
Objetivo
El polinomio es s²+2s+5.
Ganancias
k₁=5 y k₂=2.Revisar
La matriz [[0,1],[−5,−2]] tiene discriminante 2²−4·5=−16 y raíces −1±2i.
La misma estructura admite diseños con distinta relación entre decaimiento y oscilación.
No se interpreta k₁ como parte real ni k₂ como parte imaginaria: primero forman el polinomio.
5. Estabilizar al origen y seguir una referencia son tareas distintas
En u=−Kx+r, r entra por B y no coincide automáticamente con la salida deseada.
Podemos elegir una escala de referencia nominal si la ganancia estática necesaria existe y no es cero. Eso corrige un modelo concreto; no garantiza rechazo exacto de perturbaciones o errores de parámetros. La acción integral es otra herramienta para seguimiento y rechazo, con un diseño de estabilidad propio.
Un control estable puede quedar corto ante una consigna
Doble integrador, K=(6,5), y=q, u=−6q−5v+r.
Equilibrio
v=0 y −6q+r=0, de modo que q_eq=r/6.Una entrada r=1
La salida final sería 1/6, aunque el lazo sea estable.
Escala nominal
Para salida deseada ρ, elegimos r=6ρ.Entonces el equilibrio nominal es q=ρ y v=0.
La señal que se suma al actuador necesita su propia calibración de seguimiento.
Los polos siguen siendo −2 y −3; escalar r no modifica A−BK.
La escala nominal no elimina una perturbación constante desconocida
Ahora la aceleración real es v′=u+d, con el mismo control y r=6ρ.
Equilibrio real
0=−6q+6ρ+d, así q_eq=ρ+d/6.Error
Si d≠0, la salida no coincide exactamente con ρ.Interpretar
La estabilidad nominal y la escala correcta no bastaron para rechazar una fuerza constante desconocida. No se añade una integral sin volver a analizar el diseño.
Seguimiento nominal y rechazo de perturbaciones son garantías diferentes.
El error calculado es de equilibrio; el transitorio también debe revisarse si cambia el modelo.
6. El observador corrige la discrepancia entre sensor y modelo
Los primeros términos simulan el modelo y la misma entrada aplicada a la planta; la innovación y−Cx̂ compara salida medida y predicha. Si hay p salidas, L es n×p. No necesita medir cada estado directamente.
Con paso directo conocido D, la innovación correcta es y−Cx̂−Du. Omitir Du causa una corrección falsa incluso con una estimación inicialmente exacta. La estimación puede empezar diferente del estado; su convergencia se estudia mediante la ecuación del error, no se supone instantánea.
Estimar posición y velocidad midiendo solo posición
q′=v, v′=u, y=q; elegir L=(9,20)ᵀ.
Primera ecuación
q̂′=v̂+9(y−q̂).Segunda ecuación
v̂′=u+20(y−q̂).Ambas usan la misma diferencia del sensor, con ganancias distintas.
Lectura
El modelo transporta información entre velocidad y posición; la corrección de una salida puede ajustar dos estimaciones. La observabilidad del par se había comprobado con rango dos.
El observador combina dinámica conocida e historia de discrepancias.
No estamos calculando v̂ como una derivada sin filtrar de la medición de posición.
Descontar el paso directo evita inventar un error
x′=x+2u, y=x+2u, ganancia L=5.
Innovación correcta
y−x̂−2u=x−x̂.Si x̂=x, es cero.Ecuación
x̂′=x̂+2u+5(y−x̂−2u).Con estimación exacta reproduce x′.
Fallo si se omite D
Usar y−x̂ dejaría 2u incluso con x̂=x y añadiría una corrección falsa 10u.
La salida directa conocida se resta antes de corregir.
La entrada que usa el observador debe ser la realmente aplicada, incluida cualquier saturación conocida.
7. Restar las dos ecuaciones revela qué hace el error
Con modelo exacto, entrada compartida y la innovación correcta, e′=(A−LC)e: los términos Bu se cancelan. Si A−LC es Hurwitz, todo error inicial decae. Si (C, A) es observable se pueden asignar todos sus polos; para solo converger basta detectabilidad.
Un modo no observable que crece no puede corregirse mediante una salida que no lo distingue. En cambio, uno oculto que ya decae puede desaparecer de la estimación por su propia dinámica. La ecuación del error sirve para analizar el diseño; no hace falta conocer e directamente para implementar el observador.
El error escalar tiene un polo que podemos comprobar
A=1, C=1 y L=5.
Restar
e′=(1−5)e=−4e.Solución
e=e(0)exp(−4t).En un error inicial uno, el valor en t=1 es exp(−4).Alcance
La conclusión presupone modelo exacto y ausencia de ruido. No se deduce que x̂=x en el instante inicial si empezó con un dato equivocado.
La ganancia hace decaer el error sin revelar mágicamente el dato inicial.
La ganancia de control K de la planta no aparece en esta ecuación ideal del error.
Diseñar dos polos de error para el sensor de posición
Doble integrador y C=(1,0); L=(l₁, l₂)ᵀ.
Matriz
A−LC=[[-l₁,1],[−l₂,0]], cuyo polinomio es s²+l₁s+l₂.Objetivo
Polos −4 y −5 dan (s+4)(s+5)=s²+9s+20, por tanto L=(9,20)ᵀ.Trayectoria de control
Con e(0)=(1,0), e_q=−4exp(−4t)+5exp(−5t) y e_v=−20exp(−4t)+20exp(−5t).Ambas cumplen las ecuaciones y tienden a cero.
La estimación de velocidad puede tener un transitorio aunque su error inicial fuese cero.
Las dos raíces negativas prueban convergencia ideal, no monotonicidad de cada componente.
8. El principio de separación conserva un acoplamiento transitorio
En coordenadas (x, e), la matriz conjunta es [[A−BK, BK],[0, A−LC]], triangular por bloques. Su polinomio característico es el producto de los de los dos bloques diagonales.
Así los autovalores conjuntos son la unión de ambos espectros con multiplicidades. Permite diseñar control y observador por separado para el modelo lineal exacto, pero no elimina BKe: un error de estimación puede mover temporalmente la planta. Con saturaciones, no linealidad o modelos distintos, esa matriz no es por sí sola una prueba de todo el comportamiento.
Combinar el diseño de dos estados y sus dos errores
Doble integrador, K=(6,5), L=(9,20)ᵀ y D=0.
Bloques
A−BK tiene polos −2,−3 y A−LC polos −4,−5.
BK=[[0,0],[6,5]].Matriz completa
En orden (q, v, e_q, e_v), las filas son [0,1,0,0], [−6,−5,6,5], [0,0,−9,1], [0,0,−20,0].
Espectro
Su polinomio es (s+2)(s+3)(s+4)(s+5). Todos los modos conjuntos decaen en el modelo ideal.
Separar el diseño no significa borrar el efecto de un error inicial sobre la planta.
El bloque inferior izquierdo cero es la estructura que justifica la unión de polos.
La planta puede moverse aunque su estado inicial sea cero
A=1, B=2, K=2, C=1, L=5, r=0; x(0)=0 y e(0)=1.
Error
e=exp(−4t).Planta
x′=−3x+4e.Integrando, x=4[exp(−3t)−exp(−4t)].Transitorio
Es positiva durante un tiempo, alcanza 27/64 en t=ln(4/3) y después desaparece. El movimiento provino de una estimación inicial errónea.
Los polos estables no prometen ausencia de movimiento por el error de estimación.
Si x̂(0)=x(0), e sería cero y este transitorio adicional no aparecería.
9. Aumentar L acelera el caso ideal y también puede transmitir más ruido
El ruido entra multiplicado por L. Errores de modelo también dejan términos que ya no se cancelan; por eso el sistema perturbado no es la misma ecuación homogénea estable.
Elegir un observador más rápido que el control puede ser útil, pero no es un teorema de estimación óptima. Se consideran ruido, ancho de banda, saturaciones y precisión de modelo. Aquí usaremos sesgo constante y seno ordinario, sin atribuirles las propiedades estadísticas de ruido blanco o un filtro de Kalman.
Una ganancia mayor no elimina un sesgo constante del sensor
Integrador A=0, C=1, L>0 y medición con ν=b constante.
Error
e′=−Le−Lb.Equilibrio
e_eq=−b y e(t)=−b+[e(0)+b]exp(−Lt).Interpretación
Aumentar L acelera la llegada al error sesgado, pero no cambia su valor final. El sensor sesgado no contiene por sí solo el dato que falta.
Convergencia rápida hacia una lectura sesgada no equivale a estimación exacta.
El resultado se refiere a este modelo y a un sesgo persistente, no a un único ruido inicial.
Un observador rápido puede dejar pasar más oscilación de medida
Mismo A=0, C=1; ν(t)=sin(10t).
Transferencia de perturbación
Desde ν a e, H_ν(s)=−L/(s+L).Su amplitud estacionaria en frecuencia diez es L/√(L²+100).
Comparar
Con L=2 vale aproximadamente 0,196; con L=10, aproximadamente 0,707.Compromiso
Sin ruido, los errores decaerían como exp(−2t) o exp(−10t). El segundo es más rápido y transmite mayor amplitud de este ruido en régimen estacionario.
Rapidez ideal y rechazo de ruido deben evaluarse juntos.
La figura de amplitud no muestra la fase ni el transitorio inicial de la respuesta al seno.
10. El diseño completo comprueba estructura, seguimiento y señales reales
La revisión incluye controlabilidad o estabilizabilidad, observabilidad o detectabilidad, tamaños, signos, polos de A−BK y A−LC, estado inicial real y estimado, referencia y límites del actuador. Se usan las entradas efectivamente aplicadas en planta y observador. La unión de polos es una pieza de la comprobación, no toda la validación física.
Un observador es una estimación dinámica basada en modelo y mediciones. Bajo perturbaciones persistentes puede conservar error aunque su caso homogéneo sea estable. Antes de afirmar seguimiento o seguridad de una maniobra, se comprueban las condiciones concretas y las señales internas, sin sustituirlas por una curva nominal bonita.
Cerrar un diseño escalar con referencia y error inicial
x′=x+2u, y=x; K=2 y L=5.
Dinámicas ideales
Los polos son −3 para el control y −4 para el error.
Referencia
Con u=−2x̂+r y estimación convergente, x_eq=2r/3.Para consigna ρ elegimos r=(3/2)ρ.Verificar equilibrio
Con ρ=1, x_eq=1 y u_eq=−1/2.La ecuación original da 1+2(−1/2)=0.Se comprueban además controles iniciales y ruido antes de aplicar límites físicos.
El diseño nominal conserva polos, escala de referencia y equilibrio coherentes.
No se concluye seguimiento robusto exacto frente a cualquier perturbación solo por esta calibración.
Detectar un control que no puede ejecutarse como se diseñó
Doble integrador con K=(600,50), q(0)=1, v(0)=0 y actuador |u|≤10.
Orden nominal
u(0)=−600.Orden aplicada
La saturación solo permite −10. Ya no se está aplicando la ley lineal nominal en ese instante.
Conclusión correcta
Los polos calculados para A−BK describen el diseño sin saturación. Hay que revisar la maniobra limitada o rediseñar, no declarar cumplida la trayectoria rápida nominal.
Una ganancia algebraicamente correcta puede incumplir las condiciones de ejecución.
El observador también debe recibir la entrada aplicada −10, no una orden −600 que la planta no recibió.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un estado realimentado
x′=2x+u. Usa u=−kx para situar el polo en −3.
Ley
Se usa u=−kx con signo negativo.Sustituir
x′=2x−kx=(2−k)x.Objetivo
Queremos polo −3, así 2−k=−3.Resolver
k=5.Comprobar
2−1·5=−3; la solución cerrada es x=x₀exp(−3t).Aplicación
El control inicial sería −5x₀; se debe poder aplicar para que esa dinámica nominal describa la ejecución.
k=5.
2−1·5=−3. El control inicial es −5x₀; la estabilidad ideal presupone que el actuador pueda aplicar esa entrada.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un observador escalar
A=2, C=1. Busca L para que el error tenga polo −4.
Error
e=x−x̂; su matriz escalar es A−LC.Datos
A=2 y C=1, por tanto el polo de error es 2−L.Objetivo
2−L=−4.Resolver
L=6.Comprobar
A−LC=2−6·1=−4, así e=e(0)exp(−4t).Alcance
Derivar esa expresión recupera e′=−4e.La convergencia exponencial presupone el modelo ideal y la innovación correctamente formada.
L=6.
Derivar e(0)e⁻⁴ᵗ da −4e(t), la misma ecuación obtenida con L=6; la convergencia es exponencial.
Los símbolos que hemos usado
- x, u, y
- Estado, entrada de control y salida medida del sistema.
- A, B, C, D
- Matrices del modelo x′=Ax+Bu e y=Cx+Du.
- K
- Matriz de ganancia de realimentación usada con signo negativo.
- r
- Señal que se suma a la acción de realimentación; su escala debe diseñarse para seguimiento.
- x̂
- Estimación del estado calculada por un observador.
- L
- Matriz que convierte la discrepancia de salida en una corrección de la estimación.
- e
- Error de estimación, definido aquí como x−x̂.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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